約数の総和の式の一般化からの派生

自然数Ａが２つの数B、Cの積で表せて
B、Ｃが互いに素なとき、Ｓ(Ａ)は

　　Ｓ(Ａ)=Ｓ(B)*Ｓ(Ｃ)

何故、Ｓ(Ａ)がＢとＣの約数の総和の積になるのか理解できていません。

ＢとＣは素数だから、約数は１とＢ、１とＣで　０+1(Ｂ^2-1)/B-1同じくＣも計算すれば
Ｓ(Ａ)になりますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/09/03 22:35

Aの約数はB、Cの約数のそれぞれの積になります。

表にすると、
　　　　　B⁰　　　　　B¹
C⁰　　C⁰×B⁰　　C⁰×B¹
C¹　　C¹×B⁰　　C¹×B¹
この表の中の4つの数字が約数です。
約数をたすと
C⁰×B⁰+C⁰×B¹+C¹×B⁰+C¹×B¹
=C⁰×(B⁰+B¹)+C¹×(B⁰+B¹)　　　　　　　共通因数がB⁰+B¹なので
=(B⁰+B¹)×(C⁰+C¹)
B⁰+B¹はBの約数の和のことなので、B⁰+B¹=S(B)
C⁰+C¹はCの約数の和のことなので、C⁰+C¹=S(C)
Aの約数の和 S(A) は
S(A)=S(B)×S(C)

この回答へのお礼

BとCの約数をそれぞれ足したら、共通因数をくくる。
そうすると、BとCの約数の和がそれぞれ出てS(B)×S(C)って事ですね。
ありがとうございました。BとCの約数を表で表してくれたので、分かりやすかったです

お礼日時：2020/09/04 17:32