ワークの問題なのですが、
問題)
√28n/3 が自然数になるような、
もっとも小さい自然数nの値を求めなさい。
解説)
28n/3 = 2^2×7×n/3 だから、
n=3×7 ならば、
28n/3 はある自然数の2乗になる。
したがって、n=3×7=21
と書いてありました。
2^2×7×n/3 の n に
3×7 を代入してみると 14^2 になり、
28n/3 が自然数の2乗になる
ということは理解できたのですが、
なぜ 3×7 が出てきたのか
さっぱり分かりません、、、
これ以上詳しい解説は載っておらず、
悩んでいます。
なぜnに3×7を当てはめるのか
教えてください。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
ルートの中に整数のペアができると その数はルートの外へ出せますよね
ということで ペアを探します
しかし、今回はルートの中が分数ですよね
ルートの中が分数になっていればどんなにあがいてnにいろいろな整数を当てはめてみても、√(28n/3)が自然数になることはありません!
例えば √(25/3)を考えてみると 25=5x5で5のペアができるのでこれは√の外へ出せます
よって √(25/3)=√(5x5/3)=5√(1/3) ですが 分数はどうしてもルートの中に残ってしまい√(25/3)が自然数になることはないのです
そこで まずは約分をして分数を解消することを試みます
28n/3=2x2x7xn/3ですから
2や7と分母3の約分は不可能です
ということはnと3で約分するしかありません!
ということで nは3の倍数であることが必須だとわかります
nは3の倍数 とわかったことで、分母3との約分については一応解決したので
次にルートの中の数字のペアの様子を見ます
2ふたつはすでにペアとなっています
しかし7とnは現状ペアではありません
ということは 7とペアを作るために n=7x●という形の式であることも必須であることがわかります(つまりnは7の倍数であることが必須)
ここまでで、条件2つがそろいました
2つの条件とは「nは3の倍数であり、7の倍数でもあることが必須」
この条件にあてはまるためには nは3と7の公倍数
n=21,42,63,84・・・であることが必要となります
ゆえに小さいほうから順に確かめてみて n=21(n=3x7)だとすると√(28n/3)が自然数になることが確かめられますから
答えはn=3x7=21だとわかるのです
(ちなみに n=42=2x3x7 だと今度はペアになれない2ができてしまうので不適切
n=63=3x3x7だと ペアになれない3ができてしまうので不適切
n=84=2x2x3x7は √の中がすべてペアになるので√(28n/3)が自然数にはなるが、n=84は最小ではないので不適切
以上の観点からn=21が適切だと言えます)
思わず、なるほど~~!!と
口に出してしまいました…
masterkoto様の言葉選びがお優しくて、
とても分かりやすかったです!!!
なぜ n=42 や n=63 だと不適切なのかなど
さらに詳しいところまで教えていただき、
丁寧な解説をありがとうございます。
こちらのご回答をワークに
載せさせていただきたいくらいです、、
もやもやがぱっと晴れました!
貴重なお時間を割いていただき
ありがとうございました!!m(__)m
No.4
- 回答日時:
混乱させてしまったようですいません。
ランダムに示したものです。
最も小さい自然数nという条件がなければ、
n=3×7×3^2 のとき、28n/3 = 2^2×7×n/3 =2^2×7×(3×7×3^2)/3 =2^2×7^2×3^2=(2×3×7)^2
n=3×7×3^2×5^2 のとき、28n/3 = 2^2×7×n/3 =2^2×7×(3×7×3^2×5^2)/3 =2^2×7^2×3^2×5^2=(2×3×5×7)^2
よって、√(28n/3) は自然数になります。
すぐ(これはなんの数字なんだ??)と
頭がこんがらがってしまうので、
私に問題があるんです汗
すいませんと書かせてしまって、
こちらこそすみません、、!!
回答者様が
ランダムに示されたものだったのですね!
重ね重ねの質問にも
細かく解説していただき、
本当にありがとうございます!!
No.3
- 回答日時:
√(28n/3) √28を簡単にします。
√28=2√7√(28n/3)=2√(7n/3)
n=3のとき分母の3と約分できて、分母の3がなくなります。
n=7のとき平方根の中に7の2乗ができるので7が平方根の外に出ることができます。
これよりnは3であって7であれば平方根がなくなります。
n=3×7
2√(7n/3)
=2√(7×7×3/3)
=2×7
=14
自然数になります。
n=21
2√(7n/3) から分母を有理化する方法もあります。
2√(7n/3)
=2√(7n)/√3 分母分子に√3をかけて分母を有理化します。
=2√(7n)×√3/(√3×√3)
=2√(7×3n)/3
=2√(21n)/3
n=21のとき21が2乗になるので平方根が外れます
=2√(21×21)/3
=2×21/3
=14
でn=21のとき自然数になります。
2つも解き方を教えてくださり、
本当に勉強になります。
内容が分かりやすいうえ、
=を揃えてくださっているところなど、
細やかな気遣いがありがたいです、、、!!
分母を有理化する方法を初めて知りました!
同じような問題に出会った際、活用いたします。
模範解答を見てもわからず
自分が情けなくてもやもやしていたのですが、
ginga_kuma様のご回答で
すっきり理解することができました!!!
丁寧な回答を本当にありがとうございました!!!
m(__)m
No.2
- 回答日時:
m=√(28n/3)とする
↓両辺を2乗すると
m^2=28n/3
↓両辺に3をかけると
3m^2=28n…(1)
左辺が3の倍数だから
右辺も3の倍数だから
28は3の倍数でないから
nが3の倍数となるから
n=3k…(2)
となる自然数kがある
これを(1)に代入すると
3m^2=28×3k
↓両辺を3で割ると
m^2=28k
m^2=4×7k…(3)
右辺が7の倍数だから
左辺も7の倍数だから
m=7j
となる自然数jがある
これを(3)に代入すると
(7j)^2=4×7k
7^2j^2=4×7k
↓両辺を7で割ると
7j^2=4k
左辺が7の倍数だから
右辺も7の倍数
4は7の倍数でないから
kが7の倍数となるから
k=7L
となる自然数Lがある
これを(2)に代入すると
n=3×7L
もっとも小さい自然数nの値を求めるのだから
L=1とすると
n=3×7
こういった解き方があることを
初めて知ることができました。
今後に生かしていきます!!!
分からずに悩んでいたところを
詳しく解説してくださり
とても助かりましたm(__)m
分かりやすく丁寧な回答を
ありがとうございました!!!
No.1
- 回答日時:
√(28n/3) が自然数になるということは、28n/3 が自然数の2乗になるということです。
28n/3=(2^2×7×n)/3 が自然数の2乗になるということは、分母の3が消えるということと7がもう
1つ必要です。
n=3×7 とすると、28n/3=(2^2×7×n)/3 =(2^2×7×3×7)/3 =2^2×7^2=(2×7)^2=14^2
2^2×7^2のように自然数の2乗の積の形になれば14^2のように自然数の2乗になります。
2^2×7^2×3^2=(2×7×3)^2
2^2×7^2×3^2×5^2=(2×7×3×5)^2
……
これらの数はすべて自然数の2乗になりますが、もっとも小さい自然数nということなので、n=3×7=21です。
ひとつひとつ噛み砕いて
教えてくださり、とても助かります。
回答してくださったものに
また質問を重ねてしまって、
申し訳ありませんでした。
そちらにも丁寧に解説してくださり、
感謝でいっぱいです!!!
この問題にはとても悩まされて
もやもやしていたので、すっきりしました!
ありがとうございました!!m(__)m
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大切なお時間を割いていただき
ありがとうございますm(__)m
教えていただいたこちらの部分なのですが、
「2^2×7^2×3^2=(2×7×3)^2
2^2×7^2×3^2×5^2=(2×7×3×5)^2
……」
3^2や5^2は問題とは関係なく、
ランダムに示されたものですか?
よろしければ教えてください。
理解力がなく申し訳ないです。
「この回答へのお礼」
の欄に「助かりました」や「助かります」と
書いてしまいました。
感謝の気持ちをお伝えしたかったのですが、
不適切な言葉遣いになってしまいました。
回答してくださった方に対して
失礼な表現だったと反省しております。
申し訳ありません。