約数の総和の一般形の派生 で解決しきれなかった疑問 自然数Ａが２つの数B、Cの積で表せて B、Ｃが【

約数の総和の一般形の派生 で解決しきれなかった疑問

自然数Ａが２つの数B、Cの積で表せて
B、Ｃが【互いに素な】とき、Ｓ(Ａ)は(*1)の式からも分かるように

　　Ｓ(Ａ)=Ｓ(B)*Ｓ(Ｃ) (*2)


説明では、式(*1)があって
自然数Aの約数の総和をS(A)とすると、Aが素数、p1,p2...,pnによって、
A=p1^k1×p2^k2×p3^k3...×pn^kn (kは正の整数)
に素因数分解されるとき、S(A)は、

下の写真に続く

総和の積になることは分かりました。
素でなくても、S(B)×S(C)は成り立ちませんか？
素である必要があるのは式(*１)で派生するときだけですか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/09/04 23:09

8=2×4 で確かめてみたら?

この回答へのお礼

短い回答でしたが、考え直した時一番分かりやすい回答でした。
先入観で見てました、すみません。回答ありがとうございます。

お礼日時：2020/09/06 19:34

No.2 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/09/05 08:37

カッコの中の

1+P1+P1^2+・・・+P1^k1
はP1^k1の約数を表しています。
A=B×Cとします。
B、Cが「互いに素」でない場合または素因数分解を最後まで行わない場合はB、Cの約数を直接求めることができません。
B=Q1^k1×Q2^k2×・・・×Qn^kn
C=R1^k1×R2^k2×・・・×Rn^kn
のような素因数分解を完成させて、「互いに素」にしてS(B),S(C)を求める式をたてることになります。

なぜP^nの形にするかを考えてください。
P^n 約数　　　　　　　　それぞれの約数を因数分解した形で表す
2^2=4　　　1、2、4　　　　　　　1、2、2^2
2^3=8　　　1、2、4、8　　　　　1、2、2^2、2^3
2^4=16　　1、2、4、8、16　　 1、2、2^2、2^3、2^4

P^nの約数はP^nになります。P^nの約数の数列は初項1、公比Pの等比数列になります。
P^nの約数の和は、P^nの約数の数列の初項1、公比Pの等比数列の和の公式から求めることができるのです。

「素でない」=「素因数分解をしない」でも、S(A)=S(B)×S(C)は成立しますが、B、Cを素因数分解を完成させた形にしないと式を使って求めることが難しくなります。
いじわるな例　72=1×72

この回答へのお礼

例が分かりやすかったです。 1×72だったら、
2+2^2+2^3+3+3^2 +2×3+2×3^2……で等比数列の和の公式が使えないってことで困りますね。

ただし、互いに素は等比数列の和を使う前提条件というだけですよね。
それを使って約数が分かるとかはないですか？

例えば、(2^n - 1)S(B)=2^n・Bの約数が分かるとか。
それから、互いに素ということから、そこまで思い至るのですか？

お礼日時：2020/09/05 16:26

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/09/05 20:01

互いに素でないときは、S(B)×S(C)は成り立ちません。

自然数Ａが２つの数B、Cの積で表せて、B、Ｃが【互いに素な】ときと【互いに素でない】ときの例をあげます。

① B、Ｃが【互いに素な】とき
A=p1^k1×p2^k2×p3^k3...×pn^kn (kは正の整数)
B=p1^k1
C=p2^k2×p3^k3...×pn^kn

S(A)=(1+p1+p1^2+……+p1^k1)×(1+p2+p2^2+……+p2^k2)×……×(1+pn+pn^2+……+pn^kn)
S(B)=(1+p1+p1^2+……+p1^k1)
S(C)=(1+p2+p2^2+……+p2^k2)×……×(1+pn+pn^2+……+pn^kn)
よって、
S(A)=S(B)×S(C)

② B、Ｃが【互いに素でない】とき
A=p1^k1×p2^k2×p3^k3...×pn^kn (kは正の整数)
B=p1
C=p1^(k1-1)×p2^k2×p3^k3...×pn^kn

S(A)=(1+p1+p1^2+……+p1^k1)×(1+p2+p2^2+……+p2^k2)×……×(1+pn+pn^2+……+pn^kn)
S(B)=(1+p1)
S(C)={1+p1+p1^2+……+p1^(k1-1)}×(1+p2+p2^2+……+p2^k2)×……×(1+pn+pn^2+……+pn^kn)

これより、
S(B)×S(C)
=(1+p1)×{1+p1+p1^2+……+p1^(k1-1)}×(1+p2+p2^2+……+p2^k2)×……×(1+pn+pn^2+……+pn^kn)
=[{1+p1+p1^2+……+p1^(k1-1)}+p1{1+p1+p1^2+……+p1^(k1-1)}]×(1+p2+p2^2+……+p2^k2)×……×(1+pn+pn^2+……+pn^kn)
=[{1+p1+p1^2+……+p1^(k1-1)}+(p1+p1^2+p1^3+……+p1^k1)]×(1+p2+p2^2+……+p2^k2)×……×(1+pn+pn^2+……+pn^kn)
={1+2p1+2p1^2+……+2p1^(k1-1)+p1^k1)}×(1+p2+p2^2+……+p2^k2)×……×(1+pn+pn^2+……+pn^kn)
よって、
S(A)≠S(B)×S(C)

この回答へのお礼

互いに素でないとき、積の値とAの総和の値が一致しないと指摘してくれてありがとうございました。
疑問の答えが分かっても、自分でもすべて書いて検算しないといけないですね。以後気を付けます。
　今回の場合は、1×72=72では同じ値に成りますが……
S(8)≠S(2)×S(4)　　　21=15
S(2)×S(72)≠S(72)　585=403

素数には１を含めると、「ただし、１を除く」としなければならない為に素数から１は除いて素数は、
素数2, 3, 5, 7, 11...とすると、本に書いてある位なので、１の扱いは注意が必要なのですね。

お礼日時：2020/09/06 19:31

No.4 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/09/05 22:59

No.2です。

互いに素でないときはS(A)=S(B)×S(C)は成り立ちませんでした。間違えました。
A=B×C
互いに素でないので、BとCの最大公約数があります。その最大公約数をMとすると、
B=M×D
C=M×E
B×C=M×M×D×E　（D,Eは互いに素）
Bの約数とCの約数をそれぞれかけて約数を求めると、D,Eの積の約数をM倍した数が2回現れるうことがわかりました。
B、Cが互いに素でないときS(A)=S(B)×S(C)は、D,Eの積の約数をM倍した数の和の分だけ多くなります。

この回答へのお礼

(1+M+D)(1+M+E)
1 + M + E + M + MM +ME + D + DM + DE
1 + M(2 +M + D + E) + E + D + DE

(1 + D)(1 + E)
1 + E + D + DE

M倍した公約数とB,Cの約数と２つ分のMの和の分多くなる(？)説明がうまく出来ているか分かりませんが。
１×72 の問題ありがとうございました。１が次に出てきたときは多分用心できると思います。

お礼日時：2020/09/06 20:08

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/09/06 20:34

お礼を読みました。

「今回の場合は、1×72=72では同じ値に成りますが……」
もしかすると、勘違いされているかもしれないので回答します。

自然数Ａが２つの数B、Cの積で表せて、B、Ｃが【互いに素な】とき、Ｓ(Ａ)=Ｓ(B)×Ｓ(Ｃ)

A=72 , B=1 , C=72 のとき、B=1 , C=72は素数ではありませんが、互いに素です。
[ 2つの数の最大公約数が１のとき、その2つの数は互いに素です。よって、１はどんな数とも互いに素です。]

したがって、S(72)=S(1)×S(72) が成り立ちます。[ S(1)=1 ですから明らかです]

この回答へのお礼

１以外は除くと、ただし書きが必要になるんですね。
また、互いに素とは、互いの最大公約数が１のときという事ですね

お礼日時：2020/09/06 20:55