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ベルンシュタインの定理とは
集合 A から集合 B に単射 があり、
集合 B から集合 A へも単射があれば、
集合 A から集合 B への全単射があるというものである
①
f:(0,1]→(0,1)
f(x)=x/2
とfを定義する
f(x)=f(a)とすると
x/2=f(x)=f(a)=a/2
x/2=a/2
x=a
だから
fは単射
g:(0,1)→(0,1]
g(x)=x
とgを定義する
g(x)=g(a)とすると
x=g(x)=g(a)=a
x=a
だから
gは単射
集合 (0,1] から集合 (0,1) に単射f があり、
集合 (0,1) から集合 (0,1] へも単射gがあるから
ベルンシュタインの定理から
集合 (0,1] から集合 (0,1) に全単射があるといえるから
∴
(0,1]~(0,1)
②
f:(0,1]→(0,1)
任意の自然数nに対して
f(1/n)=1/(n+1)
任意の自然数nに対して
x≠1/nの時
f(x)=x
とfを定義する
f(x)=f(a)とする
自然数nに対して
x=1/nの時
1/(n+1)=f(1/n)=f(a)
任意の自然数mに対して
a≠1/mと仮定すると
a≠1/(n+1)
1/(n+1)=f(a)=a
となって矛盾するから
a=1/mとなる自然数mがある
1/(n+1)=f(a)=f(1/m)=1/(m+1)
1/(n+1)=1/(m+1)
m+1=n+1
m=n
x=1/n=1/m=a
0<x<1で
任意の自然数nに対して
x≠1/nの時
x=f(x)=f(a)
a=1/mとなる自然数mがあると仮定すると
x=f(a)=f(1/m)=1/(m+1)
x≠1/(m+1)
と矛盾するから
任意の自然数mに対して
a≠1/mだから
x=f(a)=a
x=a
だから
fは単射
自然数nに対して
y=1/(n+1)
の時
f(1/n)=1/(n+1)=y
0<y<1で
任意の自然数nに対して
y≠1/nの時
f(y)=y
だから
fは全射
だから
fは全単射
だから
∴
(0,1]~(0,1)
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