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なぜ、絶対値を持つ方程式で、場合分けをする際
片方にだけ≧、≧ が入るんでしょうか?どうやって見分けるんですか?

2X+|X+1|+|X-1|=6

↑この問題で教えてください( ;꒳​; )

gooドクター

A 回答 (6件)

厳密には


x<-1

x=-1と

-1<x<1

x=1

1<xで場合分けすればよいですが
5つの場合に分けるのは面倒でしょ
そこで、=をどちらかへまとめてしまえるならまとめてしまうのです
今回は
=-1と =1を統合して
たとえば x≦-1、-1<x≦1 1<xとしても
x<-1 -1≦x≦1 1<xとしても
x<-1 -1≦x<1 1≦xとしても良いのですが
絶対値の中身が マイナスになる、または0以上になる と言うように場合分けするのが標準的です
x+1がマイナスになるのは x<-1の場合
x+1が0以上になりのは -1≦xの場合…①
x-1がマイナスになるのは x<1の場合・・2
x-1が0以上になるのは 1≦xの場合 ですので
①②をまとめると-1≦x<1ですから
x<-1 、-1≦x<1、 1≦xにあけるのが標準的です
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この回答へのお礼

ありがとうございました!とてもわかりやすかったです!

お礼日時:2020/10/09 18:24

絶対値を外すための条件を考えれば



①両側に = が入らない
②両側とも = が入る
③片側だけ = が入る

①は場合分けで「境界」が漏れてるけど
②、③は数学的には何の問題もない。

②で解くと、個々の場合の答えを合わせると重複が
現れることがあるけど、たいていはそれで何の問題もない。

重複のない答えを並べたがるのは趣味の問題で、
数学的な要請はないです。
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> 片方にだけ≧、≧ が入るんでしょうか?



何言うてんのか判り難いな。 おそらく、
x ≧ 0 のとき |x| = x,
x < 0 のとき |x| = -x であることに起因して
絶対値を外すための場合分けをするとき
場合の切れ目の片側が ≧ になり 片側が > になること
を言うてんのやろが、

そもそも
x ≧ 0 のとき |x| = x,
x ≦ 0 のとき |x| = -x が成り立つんやから、
そんなん、両側に ≧ を付けといたらええねん。

場合分けは網羅的であればよく、
排他的でないとあかん理由はない。
x < 0 と x ≧ 0 に分けるか
x ≦ 0 と x > 0 に分けるか悩んどるよな暇あったら、
さっさと x ≦ 0 と x ≧ 0 にして
もっと身のあることに頭使え。
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>片方にだけ≧、≧ が入るんでしょうか?



両方につけたら、「=」の場合は両方に含まれてしまって、「場合分け」にならないからです。

単に「=」の場合をどちらに含めるか、だけの問題ですから、どちらか一方に決めればよいだけで、どちらにしても結果は変わりません。

「1000円以上持っている人はA班に、1000円以下の人はB班に行ってください」と言われたら、「1000円ちょうど」の人はどっちに行ったらよいか困りますよね?
「1000円以上持っている人はA班に、1000円未満の人はB班に行ってください」にするか、
「1000円を超えて持っている人はA班に、1000円以下の人はB班に行ってください」
にするかのどちらかですね。

「1000円ちょうど」の人がどっちに行こうが、「2班に分ける」ことができればそれでいいんですよ。
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基本的なやり方として、



絶対値の中身 ≧ 0 ← = が入る。
絶対値の中身 < 0 ← = が入らない。

だけです。

2X+|X+1|+|X-1|=6 これは3つに場合分けします

・X≧1 の時 |X-1|=x-1 と考える
2X+X+1+X+1=6 
・1>X≧-1 の時 |X-1|=-x+1 |X+1|=x+1
2X+X+1-X+1=6
・-1>X の時 |X-1|=-x+1 |X+1|=-x-1
2X-X-1-X+1=6

あくまで絶対値の中身が 0 より 大か小か で、≧と> が決まります。
ひっかけ問題もあるので注意は必要です。
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等号付きの不等号は≧0でも≦0のどちらかについていれば良い。


どちらを採用するかの決まりはないが、複数の絶対値が存在する場合、方程式の中でそろえること。そうしないと間違いをおこすことがある。

今回の問題の場合は、|x+1|と|x-1|の2箇所あるので、≧0を採用すると、

x+1≧0, x+1<0 ⇔ x≧-1, x<-1
x-1≧0, x-1<0 ⇔ x≧1, x<1

となる。

あと、複数の絶対値がある場合、xの範囲で場合分けが必要なことがある。
今回の問題の場合、

x<-1
-1≦x<1
x≧1

に場合分けされる。

あとは、それぞれの場合で絶対値を外して解けば良い。
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