線形代数の問題です ベクトル方程式 (x,y)=(0,1)+t(1,-1) をx軸方向に1,y軸方向

線形代数の問題です
ベクトル方程式
(x,y)=(0,1)+t(1,-1)
をx軸方向に1,y軸方向に2平行移動した直線は
(x,y)=(1,3)+t(1,-1)
ですか？

この直線(x,y)=(1,3)+t(1,-1)を原点周りに45度回転した直線の方程式を求めてy=ax+bの形で表したいのですが、
回転行列を使って計算したのですが
(x,y)=(-√2+√2t,2√2)になってしまいました。

正しい回答を教えてくだい
お願いします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/09 21:09

＞ (x,y)=(0,1)+t(1,-1)

＞ をx軸方向に1,y軸方向に2平行移動した直線は
＞ (x,y)=(1,3)+t(1,-1)
＞ ですか？

そうです。

＞ この直線(x,y)=(1,3)+t(1,-1)を原点周りに45度回転した
＞ 直線の方程式を求めてy=ax+bの形で表したいのですが、
＞ 回転行列を使って

(x,y) = (1, 3) + t (1, -1),
(X,Y)^T = A (x,y)^T,
A =
　　cos45°　　-sin45°
　　sin45°　　cos45°
を成分計算すると、
(X,Y)^T = A( (1, 3) + t (1, -1) )^T
　　　= A (1, 3)^T + t A (1, -1)^T
　　　= (-2, 4)/√2 + t (2, 0)/√2
すなわち
X = -√2 + t √2,
Y = 2√2.

あなたの計算は、それで正しい。
この媒介変数表示された直線の方程式は、 y = 2√2.