ドップラー効果とうなりの問題です。

ドップラー効果とうなりの問題です。
振動数f[Hz]の音を出す2つの発音体AおよびBがある。
発音体Aと観測者は静止していて両発音体から毎秒n回のうなりが観測者に聞こえたとき、
発音体Bは観測者に対して音速の（ ）[％]の速さで遠ざかるか。音速をV、発音体Bの速さをvとして答えよ。

解答としては(v/V)×100＝(100n/(f-n))[％]になるようです。

しかし途中過程が分かりません、教えていただきたいです。何卒よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます。回答下さった解答にマイナスが付いてるのはうなりは絶対値を取るから関係ない、という理解で大丈夫ですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/19 04:37

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/10/18 07:54

ドップラー効果の公式

f′=f×(V-u)/(V-v)
f: 音源の周波数、V: 音速、u:観測者の速度、
v:音源の速度(観測者に近ずく方向を正とする)

で、u=0、f′=f-n として解くだけ。


f-n=fV/(V-v) → V-v=fV/(f-n) → 1-(v/V)=f/(f-n)
-(v/V)=f/(f-n)-1=n/(f-n)

遠ざかる速さの音速に対する百分率は
-(v/V)×100=100n/(f-n)

この回答へのお礼

ありがとうございます。感謝申し上げます！

お礼日時：2020/10/19 04:11

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/18 11:46

概要

Aからの音の振動数は変化なく観測者に伝わるが
ドプラー効果によりBからの音の振動数は本来のものと違った振動数で伝わる
振動数が異なる2音により、観測者のところではうなりが生じているという状況

で、本編
観測者が聞く振動数はAからのものがf
Bからのものをf'とおくと
ドプラー効果の公式は
f'=f・{(V-u)/(V-w)}
(ただし、uは観測者の速度、wは発音体Bの速度、向きは音が観測者に向かう向きを正とする）
今回は　題意よりu=0,　Bが観測者から右のほうへ遠ざかっているとすると
Bから出た音は左へ進んで観測者に到達するので、この向き（左）が正
Bの速度は右向きで負の方向を向いているので、w=-vを代入で
f'=f{V/(V+v)} <f
f'<fなので
この順で引き算して
うなりの振動数=f-f' ・・・公式
⇔n=f-f'
=f-f{V/(V+v)}
=f{(V+v)/(V+v)}-f{V/(V+v)}
=fv/(V+v)
が得られます
ゆえに、Bが観測者から遠ざかる速度は
n(V+v)=fv
nv-fv=-nV
(n-f)v=-nV
v=-nV/(n-f)=nV/(f-n)です
これをVと比で表すと
v:V=nV/(f-n)：Vですから
v/V={nV/(f-n)}÷V=n/(f-n)
百分率に直すなら両辺100倍で完了というわけです

この回答へのお礼

ありがとうございます。感謝申し上げます！

お礼日時：2020/10/19 04:11

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/10/18 11:48

観測者は静止していて音源が動く場合には、「離れる」方を正とすれば

　１秒間の音速 V + 音源の１秒間の運動距離 v
の中に
　１秒間の波の数（つまり振動数）
の波が存在することになります。

つまり空気の上の波の波長が
　λ = (V + v)/f　　　　①
ということになります。
波の分布の図を描いてみれば分かりますね。
「音源が音を発してから１秒後に、観測者とどんな距離になっているか」を考え、その距離の中に「振動数」個の波があるということです。

これが「静止した空気」の上に存在する波長ですから、これを聞いた静止した観測者には
「音速が V、波長が λの波」
ですから、振動数が
　f' = V/λ = [V/(V + v)]f　　　②
であるように聞こえます。

２つの振動数の差が１秒間のうなりの数ですから、
　f - f' = n
であり、②を使えば
　f - [V/(V + v)]f = n
→　{ [(V + v) - V]/(V + v) }f = n
→　[v/(V + v)]f = n
→　vf = nV + nv
→　(f - n)v = nV
→　v/V = n/(f - n)
です。
（パーセントにするための ×100 は分かりにくくするだけなので省略）

ドップラー効果は、下記の説明が直感的に分かりやすいと思います。
↓
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/dopp/dop …
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/dopp/dop …

この回答へのお礼

ありがとうございます。感謝申し上げます！

お礼日時：2020/10/19 04:11

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/10/19 07:41

>回答下さった解答にマイナスが付いてるのはうなりは

>絶対値を取るから関係ない

いえ、音源が観測者に対して遠ざかってゆく方行向へ動いているということ。