元利均等返済の毎月返済額の導き方

複利計算を勉強していますが、元利均等返済の毎月返済額が図の式で求められることをどうやって導けばよいのかで困っています。どなたかご教授下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/10/22 00:50

こういう計算ができないと、悪徳金融業者から不当にぼられますよ。

１か月目終了時点で残る元金は、
　A1 = 借入金額 × (1 + 月利) - 毎月返済額

２か月目終了時点で残る元金は
　A2 = A1 × (1 + 月利) - 毎月返済額
　　 = 借入金額 × (1 + 月利)^2 - 毎月返済額(1 + 月利) - 毎月返済額

３か月目終了時点で残る元金は
　A3 = A2 × (1 + 月利) - 毎月返済額
　　 = 借入金額 × (1 + 月利)^3 - 毎月返済額(1 + 月利)^2 - 毎月返済額(1 + 月利) - 毎月返済額

・・・・

ｋか月目終了時点で残る元金は
　Ak = A(k-1) × (1 + 月利) - 毎月返済額
　　 = 借入金額 × (1 + 月利)^k - 毎月返済額(1 + 月利)^(k-1) - 毎月返済額(1 + 月利)^(k-2) - ･･･ - 毎月返済額(1 + 月利) - 毎月返済額

・・・・

最終的に返済完了するのが n か月後とすると
　An = A(n-1) × (1 + 月利) - 毎月返済額
　　 = 借入金額 × (1 + 月利)^n - 毎月返済額(1 + 月利)^(n-1) - 毎月返済額(1 + 月利)^(n-2) - ･･･ - 毎月返済額(1 + 月利) - 毎月返済額
　　 = 0
より

　毎月返済額{(1 + 月利)^(n-1) + (1 + 月利)^(n-2) + ･･･ + (1 + 月利) + 1} = 借入金額 × (1 + 月利)^n　　　　　①

ここで、左辺の { } の中は、初項１、公比(1 + 月利) の等比数列の第 n 項までの和なので、公式より
　(1 + 月利)^(n-1) + (1 + 月利)^(n-2) + ･･･ + (1 + 月利) + 1
= [ (1 + 月利)^n - 1 ] / [(1 + 月利) - 1]
= [ (1 + 月利)^n - 1 ] / 月利

これを①に代入すれば
　毎月返済額 × [ (1 + 月利)^n - 1 ] / 月利 = 借入金額 × (1 + 月利)^n
よって
　毎月返済額 = 借入金額 × (1 + 月利)^n × 月利 / [ (1 + 月利)^n - 1 ]

この回答へのお礼

ありがとうございます。よく見直してみます。

お礼日時：2020/10/22 06:35