ミクロ経済の問題です。詳しい方ご教授お願いします。

二財(X財とY財)および二人の個人(1と2)からなる交換経済を考える.初期保
有として,個人1はX財を10単位,Y財を6単位保有しており,個人2はX財を6単
位,Y財を10単位保有している.また,個人1の効用関数はu1=x1＾1/2
y1^1/2で与えられる.
個人２はx2^1/3 y2^2/3
配分が「パレート効率」であるかどうか,説明しなさい.
(x1,x2,y1,y2)=(5,4,5,4).
(x1,x2,y1,y2) =(16,0,16,0)
(x1,2x2,y1,y2) =(8,8,8,8)

私の考えは
MRSが等しくなればいいと思いましたので
MRS1=MRS2
y1/x1=y2/2x2…①

① を満たす配分がどれもありませんでした。
しかし、(x1,x2,y1,y2) =(16,0,16,0)
はどう考えてもパレート最適なはずなのです。

何故、このような矛盾が起きるのでしょうか？

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/27 06:50

パレート効率的配分は配分(16,0,16,0)だけ、あとの二つはパレート非効率的配分ですね。

ある配分はそれに対してパレート優越的で実行可能な配分が存在するときパレート非効率であり、存在しないときパレート効率的である、ということを思い出しなさい。第2番目と第3番目の配分についてはそれぞれそれらに対してパレート優越的で実行可能な配分を見つけなさい。なお、実行可能な配分とはエッジワースのボックス内の点で示される配分のこと。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/27 09:30

訂正。

No1で

>第2番目と第3番目の配分についてはそれぞれそれらに対してパレート優越的で実行可能な配分を見つけなさい。

とあるところは

第１番目と第3番目の配分についてはそれぞれそれらに対してパレート優越的で実行可能な配分を見つけなさい。

と直してください。

この回答へのお礼

(1)はまだ、財をフル活用していないから100％パレート最適ではないとわかりました。
(2)はAがすべて所有しているのでBに財を与えるとAの効用が下がってしまうのでパレート最適だとわかりました。
問題は(3)でした。
これは、すぐには見つからないのでMRSが等しくなる性質を使おうと思いました。その結果、MRSが等しくならないことが判明し、パレート最適ではないとわかりました。
しかし、そのy1/x1=y2/2x2…①を(2)の配分にも用いると成立しなくなりました。
これは何故なのでしょうか？

お礼日時：2020/10/27 12:43

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/27 16:11

>問題は(3)でした。

これは、すぐには見つからないのでMRSが等しくなる性質を使おうと思いました。その結果、MRSが等しくならないことが判明し、パレート最適ではないとわかりました。

実行可能配分（10,6,64/10,96/10)は配分（8,8,8,8)に対してパレート優越、よって(8,8,8,8)はパレート最適でないことを確かめてください。


＞しかし、そのy1/x1=y2/2x2…①を(2)の配分にも用いると成立しなくなりました。これは何故なのでしょうか？

MRS1=∂u1/∂x1/∂u1/∂y1

となるが、このMRS関数はx1>0、y1>0については存在するが、x1=0あるいはy1=0のときは、分子分母の微分∂u1/∂x1＝(1/2)√y1/√x1、∂u1/∂y1=(1/2)√x1/√y1はx1=０、y1=0のときは存在しないので(分母がゼロになるから）、MRSはx1=0あるいはy1=0のときは存在しない。存在しないものを用いても、正しい結果は得られない！
同じことはMRS2についてもいえる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
今回だと
MRS１＝16/16＝１
MRS２＝0/0より定義できない
よって、MRSは異なるとなるのではないのでしょうか？
したがってパレート最適ではないということです。

お礼日時：2020/10/27 21:15

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/28 04:11

＞MRS２＝0/0より定義できない

よって、MRSは異なるとなるのではないのでしょうか？
したがってパレート最適ではないということです。

MRS2=∂u2/∂x2/∂u2/∂y2
まではよいが、∂u2/∂x2=(1/3)y2^2/3/x2^2/3はx2=0のとき０ではなく、存在しない（なぜ？）。同じく、∂u2/∂y2もy2=0のとき、０ではなく存在しない（なぜ？）よって、MRS2はx2=0、y2=0のとき、0/0なのではなく、定義できないのです！

この回答へのお礼

０ではなく存在しないのは何故でしょうか？

考えてみましたがわかりません…

お礼日時：2020/10/28 09:22

No.5 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/28 10:46

＞０ではなく存在しないのは何故でしょうか？

考えてみましたがわかりません…

なぜ？とは、意味がわからないということ？
∂u2/∂y2=(1/3)y2^2/x2^2/3
となるが、右辺は分数の形をしているが、分母x2^2/3はx2=0のとき０の値をとる。しかし、分数は分母がゼロの値をとることはできない！

それとも、x2=0で微分は存在しないという「意味」はわかったが、なぜ存在しないのか？ということ。微分が存在しない関数はいくらでもありますし、ある点で微分が存在しないということもたくさんある。後者の例として、
たとえば、y=a/x（ｘは実数全体をとる）という直角双曲線描く関数(x-y平面でどういうグラフを描くか知っているよね）を考えてください。この関数はｘ＝０で存在しないので、むろん微分もｘ＝０では存在しない。

この回答へのお礼

分数は分母がゼロの値をとることはできないため
MRS２は定義できません
そこは理解できています。


y1/x1=y2/2x2より
１/１と定義できないモノは値が異なりますよね？

よってMRSが異なる
つまり、パレート最適ではない
といことにもなりませんか？

お礼日時：2020/10/29 22:19

No.6 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/10/30 06:03

>y1/x1=y2/2x2より

１/１と定義できないモノは値が異なりますよね？
よってMRSが異なる
つまり、パレート最適ではない
といことにもなりませんか？

十分条件と必要条件を混同していませんか？MRS1=MRS2は配分がパレート効率であるための十分条件です。つまり、これが成り立つなら、その配分はパレート効率です。しかし、MRS1=MRS2が成り立たないから、パレート効率でないとはいえません。（16,0,16,0)はたしかにパレート効率配分ですが、MRS1=MRS2という等式はMRS2が定義できないから、成り立っていない。このことはこの配分がパレート効率であることとは矛盾しているわけではない、ということです。

この回答へのお礼

わかりました。ようやく理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/10/30 10:26