以下の2変数関数f(x1,x2)について
(∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2)
をそれぞれ求めなさい。
(1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈R^2++,aは正の定数とする)
(2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈R^2++,a,bは正の定数とする)
参考:
関数を効用関数と考えて「限界代替率」を求めてみよ。
それぞれの微分をするところはわかったのですが
参考:のところがまるでわかりません。
それぞれを求めて微分するだけでは駄目なのでしょうか?
先生が言ったヒントを紙に走り書きをして書いたのですが、
早口だったもので単語しか書けなかったのですが
その単語とは
(1)は準線形の効用関数
(2)は1回まず偏微分、限界効用関数が出たら、限界代替率(コブダグロス型効用関数)
<「限界代替率」は、片一方の数に偏らない。>
です。
ヒントをもらって更にわからなくなりました。
わかる方教えてください。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>(1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈R^2++,aは正の定数とする)
>(2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈R^2++,a,bは正の定数とする)
>参考:関数を効用関数と考えて「限界代替率」を求めてみよ。
[ヒント]
(1)「準線形」というのは、x2 のほうが自然対数を使っているからでしょう。Ax1+Bx2 なら「線形」と呼びますから。
(2) このタイプは「コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型」というようですね。(ふつうは a+b=1 の場合が多そう)
まず「限界代替率」の定義は、「無差別曲線の傾き」だそうです。
無差別曲線は、
f(x1,x2) = C
つまり、効用関数が想定値 C に等しくなる組み合わせ (x1, x2) を連ねた曲線です。
[参照ページ]
http://www2.osipp.osaka-u.ac.jp/~jishida/dt/ch2. …
MRS12 = -dx2/dx1 = (∂f/∂x1)/(∂f/∂x2) …限界代替率
コブ・ダグラスのほうが計算がやさしそうです。
(∂f/∂x1)=a(x1)^(a-1)(x2)^b
(∂f/∂x2)=b(x1)^a(x2)^(b-1)
でしたね。
計算して、参照ページと照合してみてください。
参照URLとアドバイスありがとうございます。
>(1)「準線形」というのは、x2 のほうが自然対数を使っているからでしょう。Ax1+Bx2 なら「線形」と呼びますから。
この場合、もしx1のほうに自然対数を使っていても、準線形というのでしょうか?(どちらかに対数を使っていたら、準線形ということなのでしょうか?)
>(2) このタイプは「コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型」というようですね。(ふつうは a+b=1 の場合が多そう)
このタイプというのは、足し算ではなく、掛け算の場合はコブ・タグロス型になる、ということなのでしょうか?
教えて頂いた参照ページでしてみました。
良かったらご教授お願いします。
u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b
u1(x1,x2)=a{(x2)/(x1)}^b
u2(x1,x2)=b{(x1)/(x2)}^b
MRS21=(a/b)*[{(x2)/(x1)}^b/{(x1)/(x2)}^a]=(a/b)*{(x2)/(x1)}^b-a???
※括弧が増え過ぎて、記号の書き方が分からなかったのですが、これ[]は、{}の更に括弧という意味で入れました。
計算経過なのですが
(a/b)*[{(x2)/(x1)}^b/{(x1)/(x2)}^a]=?
参照ページにもある
{α/(1-α)}*[{(x2)/(x1)}^(1-α)/{(x1)/(x2)}^α]={α/(1-α)}*(x2)/(x1)
の計算の仕方で既に解らずひっかかってしまいました^^;基本的なところで済みません。。。
参照ページで言うと
とにかく前に{α/(1-α)}<名前何て言うのでしょうか)を持ってきて、
次に{(x2)/(x1)}*{(x2)/(x1)}と書き換え、
そして乗数を計算?するのでしょうか?
その乗数はどうやって計算したら良いのでしょうか?
No.7
- 回答日時:
>以下の2変数関数f(x1,x2)について
(∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2)
をそれぞれ求めなさい。
(1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈R^2++,aは正の定数とする)
(2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈R^2++,a,bは正の定数とする)
ヒント:
(1)は準線形の効用関数と考えて、「限界代替率」を求めよ。
(2)は1回まず偏微分、限界効用関数が出たら、限界代替率(コブダグロス型効用関数)を求めよ。
-------------------------------
以上が元の問題だとすると、(1), (2) について
(∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2)
を答えれば終わりじゃないでしょうかね。
ヒントに「**** を求めよ」とあるのに回答する必要があるのでしょうか ?
「限界代替率」を求めよ、というのに答えるときは、
u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b
u1(x1,x2)=a{x1^(a-1)}(x2^b)
u2(x1,x2)=(x1^a)b{x2^(b-1)}
MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1)
<<MRS12>> = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b) = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)} = (b/a)(x1/x2)
と順序立てて答えるべきだと思いますが..... 。
最後の MRS12 は、
MRS12 = 1/MRS21 = (b/a)(x1/x2)
だけで良さそうです。
済みません、そのヒントは先生が早口で言ってたのをメモをとって、私がここで質問する為に、自分で勝手に加えて書き込みました。
本来は
以下の2変数関数f(x1,x2)について
(∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2)
をそれぞれ求めなさい。答案には答えを導いた過程もある程度記述してください。
(1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈R^2++,aは正の定数とする)
(2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈R^2++,a,bは正の定数とする)
参考:関数を効用関数と考えて「限界代替率」を求めてみてください。
こうでした。
No.6
- 回答日時:
>MRS22 = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b) = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)} = (b/a)(x1/x2)
>これで良いでしょうか?
MRS12 ですね。
目出度く MRS21 = (a/b)(x2/x1) の逆数になりました。
設問(2)の回答の書き方なのですが
前回偏微分を書いたうえで、更に下記の通り書いたほうが良いのでしょうか?
u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b
u1(x1,x2)=a{x1^(a-1)}(x2^b)
u2(x1,x2)=(x1^a)b{x2^(b-1)}
MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1)
MRS22 = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b) = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)} = (b/a)(x1/x2)
前回した偏微分を書かずに上記だけを書いた場合、問題の(∂^2f)/(∂x1^2)と(∂^2f)/(∂x2^2)への回答部分が抜けてしまうことになるので、どうなのでしょうか?
(前回から専門外の方にお聞きすること自体、おかしいのはわかっているのですが、やはり疑問なので…)
No.5
- 回答日時:
>入力ミスで、MRS22ではなく、MRS12でした。
MRS12 = 1/MRS21 です。
(定義式で、分母と分子が入れかわるだけです。)
>URLの2ページは全て同じやり方なのでしょうか?
どの効用関数でも「MRS の定義」は同じです。
この回答への補足
さっきの間違っていましたよね
>分母と分子が入れかわるだけ
今意味がわかりました。
MRS22 = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b)
= (a/b){x1^(-1)}(x2^1)
= (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)}
= (b/a)(x1/x2)
これで良いでしょうか?
そういえば#1で
>(2) このタイプは「コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型」というようですね。(ふつうは a+b=1 の場合が多そう)
でしたよね。済みません。
>MRS12 = 1/MRS21 です。
>(定義式で、分母と分子が入れかわるだけです。)
MRS21 =b{x2^(b-1)}*{(x1)^a}/[a{x1^(a-1)}(x2^b)]
={b(x2)^(-1)}/{a(x1)^(-1)}
=(a/b)*(x1)/(bx2)
これで良いのでしょうか?
No.4
- 回答日時:
>MRS22は .......
MRS22 は意味がないでしょう。無理に定義式で計算すれば、常に 1 ですね。
限界代替率(marginal rate of substitution, MRS) の定義を見なおしてみて...... 。
>教えてくださったURL(2ページのコブタグラスの例)を拝見すると,コブダグロスではなく,普通の限界代替率になっているような気がするのですが?分母分子ともに,x1,x2の乗数が入れてあるような感じなのですが.
それは、コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型効用関数における「普通の限界代替率」です。
「普通ではない限界代替率」とは何でしょうか ?
入力ミスで、MRS22ではなく、MRS12でした。
定義を見直したのですが、
2ページ目のトップ
>第2財の第1財に対する限界代替率MRS21とするとき~
があるので
今度は、反対に、第1財の第2財に対する限界代替率MRS12があると思ったのですが…
>「普通ではない限界代替率」とは何でしょうか ?
限界代替率のなかに、コブタグラス型が特例なのだと思いまして…
先生のヒントにも、(2)の設問しかコブタグラスのことは言わなかったので、(1)はコブタグラス(特例)ではなく他の(普通)やり方があるのだと思っていたのですが、
(1)も(2)と同じ方法でしたら良いのでしょうか?
もしかしてURLの2ページは
全て同じやり方なのでしょうか?
私は、
>第2財の~
を詳しく書かれているのが
>証明:~
で
>例:コブタグラス~
を、限界代替率には色々やり方があって、そのなかにコブタグラスという方法がある
という風に捉えていたのですが…
No.3
- 回答日時:
>途中の(x2^1)が1乗になっているのはその前の計算の乗数を、分母の(x2)^bと分子(x1)^(b-1)で消去し、分母が(x1)^(-1)になり、
乗数の-を+にかえて、分母から分子に持っていったから、(x2^1)になるのでしょうか?
その通りです。
x^(-m) = 1/x^m
ですから。
MRS22は
MRS22 =b{x2^(b-1)}*{(x1)^a}/[a{x1^(a-1)}(x2^b)]
合っているでしょうか?
それから今ちょっと思ったのですが,
教えてくださったURL(2ページのコブタグラスの例)を拝見すると,
コブダグロスではなく,普通の限界代替率になっているような気がするのですが?
分母分子ともに,x1,x2の乗数が入れてあるような感じなのですが.
No.2
- 回答日時:
>.... もしx1のほうに自然対数を使っていても、準線形というのでしょうか?(どちらかに対数を使っていたら、準線形ということなのでしょうか?)
「準線形」というのは正式な呼び方じゃないと思います。
f(x1, x2) = Ax1+Bx2 なら、f は x1, x2 の「線形」結合です。
f(x1, x2) = Ag(x1)+Bh(x2) なら、f は g, h の「線形」結合ですけど、x1, x2 の「線形」結合ではありません。これを x1, x2 の「準線形」結合と言ったのでしょう。
>足し算ではなく、掛け算の場合はコブ・タグロス型になる、ということなのでしょうか?
そうなのでしょう。対数をとると、Log については「線形」になりますが.... 。
u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b → Log{u(x1,x2)} = a*Log(x1)+ b*Log(x2)
>u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b
>u1(x1,x2)=a{(x2)/(x1)}^b
>u2(x1,x2)=b{(x1)/(x2)}^b
>MRS21=(a/b)*[{(x2)/(x1)}^b/{(x1)/(x2)}^a]=(a/b)*{(x2)/(x1)}^b-a???
偏微分の結果はミスです。
参照ページは b=1-a の場合なので、この関係を無視してふつうに計算します。
u1(x1,x2)=a{x1^(a-1)}(x2^b)
u2(x1,x2)=(x1^a)b{x2^(b-1)}
MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1)
これに b=1-a の関係を代入したのが参照ページの結果です。
>MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1)
途中の(x2^1)が1乗になっているのは
その前の計算の乗数を、分母の(x2)^bと分子(x1)^(b-1)で消去し、分母が(x1)^(-1)になり、
乗数の-を+にかえて、分母から分子に持っていったから、
(x2^1)になるのでしょうか?
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