電磁気学：半径aの二つの導体球が接触しているときこの導体系の静電容量を求める問題に関連して 接点をO

電磁気学：半径aの二つの導体球が接触しているときこの導体系の静電容量を求める問題に関連して
接点をO,二球の中心A,Bとおく。このときA,Bに電荷qを置いて導体の電位をΦ'=q/(4πε0a)となるように仮想電荷を置いていく方法で解答が示されていました。OからA,Bに向かってa/n進んだ位置に[(-1)^(n-1)]×q/nの電荷が無限に配置されます。

ここで点Oの電位もΦ'となるはずですが上の配置の電荷が点Oに作る電位は
Φ"=(2q/4πε0a)Σ[(-1)^(n-1)]×q/n×n
となって2Φ'または0となってしまいます.私の考えのどこに問題があるのか教えていただきたいです。よろしくおねがいします！

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2020/11/01 02:51

鏡像電荷がその位置でその大きさでいいのかという細かい事まではチェックしきれないのでその値を信じる事にしますが、間違ったことは考えてないかなと。

偶数項まで和を取るか奇数項まで和を取るかで値が変わってしまうので、数学的には発散(振動)してる事になるから求められていないだけ。うまく発散を回避するような和の取り方をしないといけないという事ですね。

厳密性に拘らないのであれば、0と2Φ'の間を振動するので平均を取ってΦ'という程度でも十分でしょう。

数学的な正しさが気になるなら
①ABの方向をx軸にした時に(x,y,z)=(0,y,0)の電位を求めてy→0の極限をとる
②AまたはBの表面上のO以外の点Pでの電位を求めて、P→Oとする
③球の中心がOからa+δの位置にしたり、半径がa-δという事にするなど隙間がある事にしてOでの電位を求めてδ→0とする。
みたいな事をすれば発散を回避できるはず。計算は②が一番楽でしょう。

この回答へのお礼

両方の球をそれぞれ表面電位Φ'にする鏡像法ですので二つの共通部分たる点Oでのみ2Φ',他の任意の表面上の点ではΦ'となるのが理想です。がn番目の電荷(最後に置く電荷)の作る電位は打ち消せませんのでn→∞でそれの表面上につくる電位はO点でのみ0にならないというのがこの矛盾のからくりだと思います。
②の方法はOの周りは電位Φ'だからOもΦ'にしちゃえということですか？③でやってみたものの結局振動してしまいました。①もおそらく振動します。表面電位一定に矛盾を引き起こすこの解法は正しいと言えるのでしょうか？いつか納得できる答えを見つけられたらなと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2020/11/01 17:17

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2020/11/02 10:53

>二つの共通部分たる点Oでのみ2Φ'

1.5Vの乾電池の並列に繋ぐと(実際にはやらない方が良い)3Vを作れるみたいな事を考えてますか？
接触点だけ電位が違うとしたら、接触点から周囲に電流が流れて電位差が小さくなるように変化します。なので接触点だけ電位が違うという事は少なくとも定常状態では起こりません。

>がn番目の電荷(最後に置く電荷)の作る電位は打ち消せませんのでn→∞でそれの表面上につくる電位はO点でのみ0にならないというのがこの矛盾のからくりだと思います。
まぁ間違ってはいないけど、矛盾というか単に電位が求められていないだけなんですけどね。
鏡像電荷は本来は導体の外の電位を求めるのに使い、表面も電位の連続性から本来は使えるはずなんですよ。しかし、鏡像電荷が表面に集積しているような状況でその点の電位を求めるのに使えるかは微妙な所で、今回は振動してしまうので使えない事がわかったという状況です。

>②の方法はOの周りは電位Φ'だからOもΦ'にしちゃえということですか？
しちゃえというか、電位が不連続なら電場が発散します。そうなっては困るという物理的要請から電位が連続である事を積極的に使っているだけです。

>③でやってみたものの結局振動してしまいました。
・総和の計算の【後】にδ→0(またはy→0)としていますか？
・求めている電位は2球の隙間(表面でない)の電位ですか？(一方の球の表面の電位を求めているなら、鏡像電荷の大きさや位置がδとともに変わる事を考えていますか？)

こう計算した上で振動すると言っているのなら、総和とδ→0のいずれで振動したのでしょうか？解析解が求められない(求め方がわからない)事はあり得るのだけど、少なくとも振動する要素はないはずなんですよね。

>表面電位一定に矛盾を引き起こすこの解法は正しいと言えるのでしょうか？
電位の連続性を使っているだけなので表面電位は一定になります。矛盾は起こりません。

この回答へのお礼

ものわかりの悪い素人の質問に付き合ってくださりありがとうございました。もう少し考えてみたいと思います！

お礼日時：2020/11/04 13:00