直線と距離の問題

直線l: mx+y+m−3=0と点A（0、−1）の距離の最大値を求める問題の解き方を教えてください。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/04 20:25

点(s,t)と直線ax+by+c=0の距離をdとすると

d=|as+bt+c|/√(a²+b²)・・・公式

これに当てはめれば
この問題での点と直線の距離は
d=|0-1+m-3|/√(m²+1²)≧０
りょうへん2乗して
d²=(m²-8m+16)/(m²+1)={(m²+1)-(8m+15)}/(ｍ²+1)
=1-{(8m+15)/(ｍ²+1)}

ここまでくれば答えは分かったも同然ですよね・・・続きはご自分で

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2020/11/04 20:29

直線lの式は

m(x+1)+(y-3)=0
と変形出来るので直線lはmの値に関わることなく点(-1,3)を通る直線であることが判る。
図を書いて検討してみると点(-1,3)と点(0,-1)の距離が求めたい最大値でありそう。即ち√17が答えになりそう。
点と直線の距離の公式を用いてdの２乗をmの関数として表して導関数を利用してdの２乗が確かに17になっていると確認できればそれで良い。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/04 20:43

#2の人の言う距離は　2点間の距離であって点Aと直線距離ではないようです

点と直線の距離とは　点から直線に垂線を下した時
その垂線の長さのことを言いますから勘違いのないよう注意が必要です

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/05 10:36

あ、ごめん　#2の人の考え方は正しい

いま、落ち着いて読んでみたら誤りがないことに気が付きました・・・

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/11/05 11:26

#2で述べられているように直線lは(-1,3)を通ります。

この点をBとします。

Aを中心としBを通る円をCとします。
直線lは円CとBで交わりますが、接する場合を除きもう1点交点を持ちます。

直線lと円Cが2点で交わる時、直線lの一部は円Cの内部を通ります。この部分と円Cの中心Aとの距離は半径であるABよりも小さくなります。
当然、直線lとAとの距離はABよりも小さい。

直線lと円CがBで接するとき、直線lと円Cの距離はABとなります。
この時、直線lとAの距離は最大になります。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/05 13:53

No.2 に同意なのだけれど、

m(x+1)+(y-3)=0 は (-1,3) を通る直線のうち
一本だけ除いた直線群を表すから、
距離 √17 を与える直線が
その除かれる直線でないことは確認したほうがいい。
今回の問題では、その点はうまくいっている。