∫(√(1-x^2))/(1-x) dx を解くと -arccos x -(√1-x^2)+Cになり

∫(√(1-x^2))/(1-x) dx
を解くと
-arccos x -(√1-x^2)+Cになりました

しかし解答には
arcsin x -(√1-x^2)+Cと書いてありました。

何度見直ししても解答のような形になりません。
正しい解答を教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/07 15:38

どちらも正しい。

不定積分は積分定数があるため、違う式で表現されることがある。

x=cost=sin(π/2 - t)とすると、

t=arccosx
π/2 - t=arcsinx

π/2 - arccosx=arcsinx
-arccosx=arcsinx - π/2

-arccosx - (√1-x^2) + C
=arcsinx - (√1-x^2) + C - π/2
=arcsinx - (√1-x^2) + C' (C'=C - π/2)

位相の差は積分定数で吸収されるため、どちらも答えとしては正しい。

模範解答から見れば、arcsinxを微分するのが綺麗ではあるが、積分のほうはcosで置換しないと計算が複雑になる。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/11/07 14:21

二つの答えは同じもの。

cos(π/2-t)=sin(t)
ですね。これを＝ｘおくと
t=arcsin(x)
π/2-t=arccos(x)
となり
arccos(x)=π/2-arcsin(x)
となることがわかります。
つまり、arccos(x)と-arcsin(x)は定数π/2違うだけの値を持ちます。
定数の違いは積分定数の差で吸収されますので質問者の出している二つの式は同じ式なのです。