数学の展開問題（？）の合否確認・解き方協力願い

『(3 + √5 + 2√3)(3 + √5 - 2√3)を簡単にすると【解答1】となる。』という問題について、下記、やってみました。解答が合っているか否か、また、訂正や「こうしたほうがもっと良い」「こうすれば簡単よ」といった着目点や考え方、アドバイスについても教えていただきたく、よろしくお願いいたします。

(3 + √5 + 2√3)(3 + √5 - 2√3)
= (3 + √5)^2 + (2√3 × -2√3)
= (3 + √5)^2 + (-1)
= (3 + √5)^2 -1
= 9 + 5 - 1
= 13

よって、【解答1】は、13。


私は数学で混乱していて、そもそものあたりから解っていないところがあってトンチンカンなことを書くことがあるかもしれません。その際はごめんなさい。数学1Aといった範囲がわかるようになりたくて勉強しています。よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/11/13 10:51

質問者さんの解答に沿って添削すると

(3 + √5 + 2√3)(3 + √5 - 2√3)
= (3 + √5)^2 - (2√3)^2
= (3 + √5)^2 - (2^2)(√3)^2
= (3^2 + (√5)^2 +6√5) -12
= (9 + 5 +6√5) - 12
= 2 + 6√5

よって、【解答1】は、2 + 6√5。

この回答へのお礼

私にとってわかりやすいように回答していただき、ありがとうございます。いただいた回答の道のり（？）をよく見てみました。
(3 + √5)(3 + √5) となること。そこで、それぞれに掛けなきゃならないから 3√5 と 3√5 の分の計 6√5 を忘れないで。そんなことや、なんといいますか、仕組みがわかったような気がして、うれしくなりました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2012/11/13 20:14

No.5 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2012/11/13 17:20

もちろん公式というか展開の定型を覚えてそれを利用すればいいのだけれど、展開は力技でも十分にできます。

(3+√5+2√3)(3+√5-2√3)
=3(3+√5+2√3)+√5(3+√5+2√3)-2√3(3+√5+2√3)
=(9+3√5+6√3)+(3√5+5+2√15)-(6√3+2√15+12)
=9+5-12+6√3-6√3+3√5+3√5+2√15-2√15
=2+6√5
です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。後ろの方から前に掛けて行くんですね。
3番目といいますか、(1番目)+(2番目)-(3番目)の3つ目の所の -2√3 を 3 と √5 と 2√3 に掛けて行く分の所で、次には、先にマイナスを出す、というか、マイナスの後をカッコでくくるようにして、-(6√3 + 2√15 + 12)とされているところが、まだよくわかっていません。混乱しています。でも、それは、私が、√5 × 2√3 が 2√15 になるのも、そうだったか、といった、本当に皆さんにあきれられるだろうレベルにいるからなのではないかと思いました。ともかく、tsuyoshi2004さんが丁寧に示してくれているといったことはわかります。本当にありがとうございます。仕組みがわかるようで、今後が楽しみです。

お礼日時：2012/11/13 20:52

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/11/13 12:47

>点(3 + √5 + 2√3)(3 + √5 - 2√3)

これなら順調、と思っていたら…、

>= (3 + √5)^2 + (2√3 × -2√3)

(3 + √5)^2 - (2√3 × -2√3) の間違いでしょうネ。

>= (3 + √5)^2 + (-1)

(2√3 × -2√3) = 1 ？
これは、
(2√3 × -2√3) = 12 です。
(3 + √5)^2 - 12 と正して続行したいのですが…。

>= 9 + 5 - 1

(末尾の -1 は -12 だった)
その前の項は？
(3 + √5)^2 = 9 + 5 ？
これは、
(3 + √5)^2 = 9 + 5 + 6*√5

結局、
9 + 5 + 6*√5 - 12 = 2 + 6*√5

>よって、【解答1】は、

2 + 6*√5 らしい。

　　

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。書いていただいた回答を何回か読んでみましたがまだよくわかりません。でも、いろいろ丁寧に訂正いただいているのだといったことは感じます。ありがとうございます。もっと勉強してアドバイスも早くわかるようになりたいです。

お礼日時：2012/11/13 20:20

No.2 回答者： noname#176157 回答日時： 2012/11/13 09:57

まず、2行目は

(3 + √5)^2- (2√3)^2
これは、(a+b)(a-b)=a^2-b^2を使います。あなたの書いてるのも間違いとは言わないが、かっこわるい。
次、三行目
(2√3 × -2√3)はまあ、-(2√3)^2なわけだけれど、なぜ-1と計算するかな。-12だよ。
(3+√5)^2の展開が、9+5ってのもなにをかいわんやだな。9+6√5+5だよ。
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2だよ。
√は最後まで残るんじゃないか。
問題を解く時には、教科書や参考書を見ながら解こう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。わかりました。(2√3 × -2√3)は 2 × -2 をやって -4、そして√3 × √3とやって、その√3の2乗の答えの3を掛けるということで、-4 × 3 = -12。なんといいますか、私は問題を見た時、似ているものが並んでいるな、マイナスだけが違う、といったところから、なぜか【2√3】を1つのある塊・量としてとらえてしまい、それを同じ量をマイナスとして掛けるから、1 × -1 = -1 とやってしまいました。(3 + √5)^2 は 3 × 3 + √5 × √5 としてしまいました。展開というものを調べたら(3+√5)(3+√5)だから、それぞれに掛けて整理するってことで、9 + 6√5 + 5 がわかりました。変なことをしてしまっていたのが恥ずかしいです。勉強します。あと、なぜだかわからないけれど、「√は最後まで残るんじゃないか」が、印象に残りました。ありがとうございました。

お礼日時：2012/11/13 19:58

No.1 回答者： Subaru_Hasegawa 回答日時： 2012/11/13 09:37

中学レベルから勉強しなおした方がいいだろう。

なんで公式を見てそれを間違った
方向に解いていくのかが理解できないんだが・・・。

a^2-b^2=(a+b)(a-b)という公式なのだから、a=3 + √5、b= 2√3とおけばいい。

＞＞(3 + √5)^2 + (2√3 × -2√3)
既に二行目のこの部分からおかしい。2√3 × -2√3ではなくて2√3 × 2√3です。

＞＞ 9 + 5 - 1
ここもおかしい。もはや説明する気にもなれないレベルです。
(a+b)^2の公式は教科書にありますから。

もし、a^2-b^2=(a+b)(a-b)が理解できないならば、小学校卒業レベルの算数から
やり直しましょう。そうすれば理解しやすくなります。基本が欠如しているから
この段階で行き詰まるのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。中学レベルも理解できていないのが恥ずかしいのですが、勉強してわかるようになりたいと思っています。公式を利用して要領よくできる人はいいなと思います。小学校卒業レベルの算数からやり直すこともやろうと思います。アドバイスありがとうございました。

お礼日時：2012/11/13 13:55