f(z)=(e^iz)/z^3について、 (1)f特異点の種類を述べよ(極みの場合は位数も述べる)

f(z)=(e^iz)/z^3について、
(1)f特異点の種類を述べよ(極みの場合は位数も述べる)
(2)z=0を中心とするローラン級数に展開し、その主要部を求めよ。
(3)z＝0における留数Res[f,0]を求めよ
という問題の解答を教えて欲しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/01 14:09

(1)

e^x が正則関数なので、(e^iz)/z^3 の特異点は
分母 z^3 の零点が極になるだけです。
z^3 の z=0 が 3位の零点なので、
(e^iz)/z^3 の z=0 は 3位の極。

(2)
e^x のマクローリン展開 e^x = Σ[k=0→∞] (x^k)/k! に
x = iz を代入して、 e^(iz) = Σ[k=0→∞] {(iz)^k}/k!.
これを z^3 で割って、 f(z) = (e^iz)/z^3 = Σ[k=0→∞] {(i^k)z^(k-3)}/k!
= Σ[n=-3→∞] {(i^(n+3))/(n+3)!}z^n.

(3)
マクローリン展開で z^-1 項の係数をとって、
Res[f,0] = (i^(-1+3))/(-1+3)! = (-1)/(2!) = -1/2.