統計力学とかで出てくる分配関数(状態和)がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか?

またある問題でエネルギー準位ε=(n+1/2)hνのN個の独立な調和振動系子の系があり
この調和振動子一個に対する状態和が
Z=1/{2sinh(hν/2kB・T)}
となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
一個に対する状態和?という感じです。
どうかお願いします。

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A 回答 (2件)

>状態というのが量をもっているわけなんですが


>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
 Z=ΣP(x)
  =P(1)+P(2)+…+P(6)
  =6*1/6
  =1
ということになります。

>速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?
さいころで言うと状態は「1の目が出ること」などに対応します。
この場合は6つの状態を取り得ますね。

>一個に対する状態和?
粒子が一個であっても e_n =(n+1/2)hν という結果を見れば、
基底状態 e_0 = hν/2 の状態にあるかもしれないし、
励起状態の1つ e_1 = (1+1/2)hν = 3/2*hν のエネルギー状態にあるかもしれない、
というようにとり得る状態は1つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
e_0 の状態にある確率が exp(-βe_0)
e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
   :
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか?
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この回答へのお礼

詳しいご回答ありがとうございます。

再び誤解を解いていただきありがとうございました。
何かと勘違いしてしまいそのまま進んで後から考えて悩んでしまいそのつど時間をとられてしまいます(涙)。

>その後、相対論の理解は進みましたか?

どうもその節は。一時はテンソルにくじけそうになりましたがとろいスピードで勉強してます。ではこれからもよろしくお願いします。

お礼日時:2001/08/20 01:06

系の固有状態に番号 i をつけて,i 番目の固有状態のエネルギーが e_i,


β=1/kT (k はボルツマン定数) とするとき
(1)  Z = Σ_i exp(-β e_i)
が分配関数の定義ですね.
正準集合で,エネルギーが e_i の状態の実現確率はボルツマン因子
(2)  exp(-β e_i)
に比例します.
実現確率を1に規格化するために(1)の計算が必要ですね.

でも,Z は単に規格化因子以上の意味を持っていて
(2)  F = - (1/β) ln z
でヘルムホルツ自由エネルギーが求められます.
F がわかれば偏微分で次々熱力学的量が求められます.

調和振動子1個を持ってきて適当な時間間隔でエネルギーを測定してもいいし
(熱浴との相互作用があるから,状態は刻々変わります),
沢山の調和振動子をもってきて同時にエネルギーの分布を測定してもよい.
両方が同じ結果を与えるというのが,いわゆるエルゴード仮説です.
同じ粒子がN個なら分配関数は1個の場合の分配関数のN乗です.
ZがN乗になれば,(2)からFはN倍になりますから,
Fの示量性(粒子数が2倍になれば自由エネルギーも2倍ということ)
と適合します.
Z=1/{2sinh(hν/2kB・T)}
の導出については
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=116515
の私の回答をご覧下さい.
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この回答へのお礼

詳しいご回答どうもありがとうございます(返信遅れてすいません)。
実はまだよく状態和のことがわかりません。というのは「状態」というもの
自体よくわかっていません。
まず
Z = Σ_i exp(-β e_i)
が1粒子の状態の和なんですよね。ということは状態というのが量をもっている
わけなんですが状態というのはどういう量なんですか?
速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?

お礼日時:2001/08/19 22:05

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H=Σ〔i=1~N〕{p〔i〕^2/2m+m(ω^2)(q〔i〕^2)/2}

の時、系の構造関数が次式の形に書き表されることを示そうと思っています。

Ω(E)=∫(d^N)q(d^N)pδ(E-H)
   ={(2mE)^(N/2)/E}[2E/{m(ω)^2}]∫(d^2N)zδ{1-Σ〔i=1~2N〕(z〔i〕^2)}

ですが、

 変数変換:(i=1,・・・,N)
z〔i〕=p〔i〕^2/{(2mE)^(1/2)}、
z〔i+1〕=q〔i〕/[{m(ω)^2/2mE}^(1/2)]

を何処かで用いるとしか分かりません。
 誠に恐縮ですがどなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。

Aベストアンサー

まず、ご質問の式を
Ω(E)=∫(d^N)q(d^N)pδ(E-H)
   ={(2mE)^(N/2)/E}(2E/mω^2)^(N/2)
  ×∫(d^2N)zδ{1-Σ〔i=1~2N〕(z〔i〕^2)}

z〔i〕=p〔i〕/(2mE)^(1/2)、
z〔i+N〕=q〔i〕/(2E/mω^2)^(1/2)

と直す必要があると思います。すると

Ω(E) ={(2mE)^(N/2)}(2E/mω^2)^(N/2)
  ×∫(d^2N)zδ{E(1-Σ[i=1~2N]z〔i〕^2)}

次にaを定数としたとき
 δ(az) = δ(z)/|a|
という公式より
Ω(E) ={(2mE)^(N/2)/E}(2E/mω^2)^(N/2)
  ×∫(d^2N)zδ{1-Σ[i=1~2N]z〔i〕^2}

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Aベストアンサー

ANo.1さんのご回答で良いと思いますが、詳しく説明してみますね。

調和振動子のエネルギーは普通は、

ε(n) = hω ( n + 1/2 )

ですが、結果の式から逆算して、零点振動のエネルギー hω/2 を考えないことにしているみたいですね。そこで、

ε(n) = hω n

で考えます。(n = 0,1,2,… ∞、h は hバーの意味)

正準分布で、その実現確率 p(ε) は、

p(ε) = e^{-ε/τ}/Z = e^{-βε}/Z

になります。β=1/τ=1/(k_B T)

Z = Σ_{n=0}^{∞} e^{-ε(n)/τ}
= 1/(1 - exp(-hω/τ)) = 1/(1-exp(-βhω))

は分配関数です。

調和振動子の平均エネルギーは、

U = <ε> = Σ_{n=0}^{∞} ε(n) p(ε(n))

となるのは良いですね。確率と期待値の関係です。

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U = (1/Z) Σ_{n=0}^{∞} ε(n) exp(-βε(n))
 = - (1/Z) ∂/∂β [Σ_{n=0}^{∞} exp(-βε(n))]
 = - (1/Z) ∂Z/∂β
 = - ∂(log Z)/∂β

と書けます。これがANo.1さんのご回答にある式です。
よく使う式なので覚えておくとよいです。

そして具体的に代入してみると、

U = ∂/∂β log(1-exp(-βhω))
 = +hω exp(-βhω)/(1-exp(-βhω))
 = hω/(exp(-βhω)-1)

と求まります。

ANo.1さんのご回答で良いと思いますが、詳しく説明してみますね。

調和振動子のエネルギーは普通は、

ε(n) = hω ( n + 1/2 )

ですが、結果の式から逆算して、零点振動のエネルギー hω/2 を考えないことにしているみたいですね。そこで、

ε(n) = hω n

で考えます。(n = 0,1,2,… ∞、h は hバーの意味)

正準分布で、その実現確率 p(ε) は、

p(ε) = e^{-ε/τ}/Z = e^{-βε}/Z

になります。β=1/τ=1/(k_B T)

Z = Σ_{n=0}^{∞} e^{-ε(n)/τ}
= 1/(1 - exp(-hω/τ)) = 1/(1-exp(-βhω))

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Aベストアンサー

古典力学の単振動のエネルギーは振動数の2乗に比例します。
http://www7.plala.or.jp/stokida/l2h/tansindoe/node4.html

でその本に書いてある量子化の話は
http://www.phys.aoyama.ac.jp/~w3-furu/lecs/QMA2003/chapter7.pdf
だと思います。

古典力学では調和振動子の振幅は任意に取れるために,両者は独立に考えられるので,振幅が一定ならエネルギーは振動数の2乗に比例,振動数が一定なら振幅の2乗に比例となり独立に依存性を表現できます。
それが最初のHPの古典力学的な説明です。

一方,量子力学では振動が量子化されてしまうために,振動数と振幅が独立な値をとることができません。

つまり,調和振動子の一番低い振動数の振幅が決められてしまうので,
エネルギーが確定してしまうのです。
古典力学では調和振動子の一番低い振動数の振動は振幅を増やしていけば
エネルギーを増やすことができます。
逆に言えば,振幅を一定にして振動数を変えることができますから,
その場合のエネルギーは振動数の2乗に比例します。

ところが量子化された振動子では振動数で決まる特定の振幅しか
状態として存在しないことになり,そのエネルギーと振動数の関係が
比例関係にあることになります。

つまり,質問者様の疑問点は
1.自由度の大きい古典力学では振幅を一定にしたときの振動数のエネルギーの関係(2乗に比例)
2.自由度の少ない量子力学では振動数とエネルギーの関係(振幅が決まってしまうため1乗に比例)
の二つの考え方からきていることと思います。

量子化というのはしっかり理解するのが難しいので,いろいろ悩むことは
良いことだと思います。
がんばってください。

古典力学の単振動のエネルギーは振動数の2乗に比例します。
http://www7.plala.or.jp/stokida/l2h/tansindoe/node4.html

でその本に書いてある量子化の話は
http://www.phys.aoyama.ac.jp/~w3-furu/lecs/QMA2003/chapter7.pdf
だと思います。

古典力学では調和振動子の振幅は任意に取れるために,両者は独立に考えられるので,振幅が一定ならエネルギーは振動数の2乗に比例,振動数が一定なら振幅の2乗に比例となり独立に依存性を表現できます。
それが最初のHPの古典力学的な説明です。

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Aベストアンサー

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> その場合1粒子に波の性質があるといえるのでしょうか?

粒子一個だけ観測した場合は、粒子一個のエネルギーに相当する振幅の波になります。

そう考えると「粒子一個のエネルギー」は、完全に固定されたものになっており、
古典力学的には、決定論的に完全に粒子の振る舞いは記述できるはずなわけですが、

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