数学的帰納法について質問です。 「4以上のすべての自然数nについてn!>2^nが成り立つことを証明せ

数学的帰納法について質問です。
「4以上のすべての自然数nについてn!>2^nが成り立つことを証明せよ。」という問題が出題されたのですが途中で詰まってしまいました。

(Ⅰ)n＝4のとき
左辺＝4!＝24
右辺＝2^4＝16
よってn＝4のとき式は成り立つ

(Ⅱ)n＝kのときn!>2^nが成り立つと仮定すると
k!>2^kとなる

この後がどうしてもわかりません。
教えていただけると嬉しいです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/11/17 01:27

n=k+1 のときに成り立つことを示してください.

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/11/17 05:39

k!>2^k のとき、(k+1)!>2^(k+1) が成り立つことがいえればよいです。

k! - 2^k>0 を利用して、(k+1)! - 2^(k+1) >0が成り立つことを言います。
(k+1)! - 2^(k+1)
=(k+1)・k! - 2^(k+1)
=(k+1)・k! - (k+1)・2^k + (k+1)・2^k - 2^(k+1)
=(k+1)(k! - 2^k) + (k+1)・2^k - 2・2^k
=(k+1)(k! - 2^k) + (k+1 - 2)・2^k
=(k+1)(k! - 2^k) + (k - 1)・2^k >0

この回答へのお礼

ありがとうございました！
とても参考になりました！！

お礼日時：2020/11/17 19:10