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画像は内田伏一著の集合と位相からです。まずこのωがどこから来てるのかわかりません。Aλは何かの部分集合というわけではないのでωは未定義なはずなのですが。次にここで定義された位相において、Aλは有限集合{ω}の補集合だから開集合となる一方で、{ω}自身が開集合であるためAλは閉集合ともなります。このときAλは開かつ閉集合となるのですが、この推論はあってますか?閉かつ開集合を取り扱ったことがないため不安になりました

「画像は内田伏一著の集合と位相からです。ま」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • また、このとき、pλ:ΠXλ->Xλを因子空間への射影としたとき、これは連続写像となりますか?

      補足日時:2020/11/21 23:59
gooドクター

A 回答 (2件)

> まずこのωがどこから来てるのかわかりません。



いや、写真の文章に「∪Aλに属さないひとつの元 ω を選び」
って書いてあるじゃないですか。そこから来ています。

> Aλは何かの部分集合というわけではないのでωは未定義なはずなのですが。

写真では見切れていますが、前の方で Aλ を定義したときに
全ての Aλ を含む何らかの集合は仮定されているはずです。

> Aλは有限集合{ω}の補集合だから開集合となる一方で、
> {ω}自身が開集合であるためAλは閉集合ともなります。
> このときAλは開かつ閉集合となるのですが、この推論はあってますか?

あっています。
開かつ閉集合は、珍しいものではありませんよ。
任意の位相空間で、空集合と全空間は開かつ閉です。
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Aλは集合族ですから、Aλはある集合Aの部分集合です。


したがって、wは ∪Aλ (⊂A) に含まれない Aの元です。

したがって「Aλは有限集合{ω}の補集合だから・・・」は間違いです。

補足についてはわからない。
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