【青チャート/空間ベクトルの内積】 赤の内積の計算部分は、何故青で囲った公式を使っていないのですか？

【青チャート/空間ベクトルの内積】
赤の内積の計算部分は、何故青で囲った公式を使っていないのですか？
これだと普通の掛け算になってしまいますよね...

https://naop.jp/topics/topics18.html
こちらのサイトにも、ベクトルには積が無いと書かれてありますし、下記の事から『ベクトルの内積』と『ベクトルの掛け算』は少し意味が違うので、『ベクトルの内積』≠『ベクトルの掛け算』という事ですよね。
分かる方、何故この様な計算になるのか教えてください。


《ベクトルの内積》
ベクトルの内積▶答えがスカラー(線型代数学で言う、ベクトル空間のベクトルに対比するものとしての実数)
《ベクトルの掛け算》
平面ベクトルの掛け算▶答えも平面ベクトル(になるはず)
空間ベクトルの掛け算▶答えも空間ベクトル(になるはず)
(※この様にはならない。つまりベクトルの掛け算という物は無い)

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/05 18:07

ベクトルとは大きさと向きを持った量のことですよね

対して、向きは持たず大きさだけを持った量のことを「スカラー」といいます
で、ベクトルの積にはベクトル積と、スカラー積の2種類があって
前者は外積とよばれ、後者が内積です
ベクトルの積にはその結果がベクトルになるものと、スカラーになるもの
の2種類があるのです
ちなみに　表記の仕方は
外積が　(→a)x(→b) というように　「ｘ」記号を使うのに対して
内積は　(→a)・(→b)と言うように　「・」で表すという区別があります
（ただし、外積、ベクトル積については高校では習いません）

で、高校範囲でもありますし、この問題では外積（貴方が言うベクトルの掛け算）とは全くの無関係です
（以下、ベクトルの矢印は省略）
OA=a　で
計算結果から
OD=(2/3)b+(1/3)cのようですので
青で囲った公式の登場は後にとっておいて
OA,ODに代入を行って
OA・OD=a・{(2/3)b+(1/3)c}　としただけなのです
というのも、OA・OD=|OA||OD|cosθが適用できれば良いんですが
|OD| すなわちODの長さってわかっていますか？
OAとODのなす角θ　も不明ですよね（計算すれば求まるのかもしれませんが現時点では不明ですし、面倒なんで私はこれらを求めにはいきません）
不明なものが２つもあっては　|OA||OD|cosθが計算できないということになってしまうんです
そういうときに、模範解答のようにOA,ODを置き換え（代入）
というのはよく行われる手段なんです
以下ベクトルの演算法則に従って
OA・OD=a・{(2/3)b+(1/3)c}
=(3/2)a・b+(1/3)a・c (←←←模範解答は1/3をくくりだしているが　
　　　　　　　　　　　　　　この形でも同じこと）
と変形できるので
この段階になって初めて青囲み公式の登場というわけです
a・ｃ=1/2はすぐそばに書かれているから省きますが
青囲み利用で
a・b=|a||b|cosθ=1x1xcos60=1/2なんで
(3/2)a・b+(1/3)a・c
の続きの計算が可能というわけです

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです。
ありがとうございました！

お礼日時：2020/12/05 21:56

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/05 18:53

内積を表す式は、代表的なものが２つあります。

ベクトルの成分表示を使った赤丸の公式と、
幾何学的な量を使った青丸の公式です。
内積がこの２通りに書けることが
成分表示と幾何学量とを関係づけるのですが、
単に内積の値を求めるには、どちらを使ってもよくて
代入する値がそろうほうの公式を使えばいい。
今回の場合、必要な値が手元にそろうのは
どちらの公式ですか？ ...そういうことです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2020/12/05 21:56