2√2の連分数展開について

2√2を連分数展開すると、

2√2＝2+(2√2−2)=2+2/(√2+1)＝2+1/(√2+1)/2

となって行くかと思いますが、最後の分母の1/2の処理をどうしたら良いのかわからず止まってしまいます。
どうか教えていただけないでしょうか？よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/14 23:53

x = 2√2

　　= 2 + 2/(√2+1)
　　= 2 + 4/(2 + 2√2)
　　= 2 + 4/(2 + x)
　　= 2 + 4/(2 + 4/(2 + 4/(2 + ...

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/12/15 00:14

どういう形の連分数展開を考えているかによる. 分子が 1 であることを要求しないのであれば

2+2/(√2+1)
から分子はさわらないで分母だけ展開していけばいい.

なにがなんでも分子を 1 にしたいんだったら... まあそれでも
2+1/[(√2+1)/2]
の分母を展開すればいいだけ, か.

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/12/16 15:23

2√2=1-1+2√2=1-(1-√2)=1-[1/{1/(1-√2)}]=1+{1/(1+√2)} 。

2√2 に 1-1 を加えて、1-√2 の逆数の逆数をとり、
分母の有理化をする。それを繰り返す。