パームテーションのpと、コンビネーションのc、問題がでても、どちらを使えばいいのか違いが分かりません。できるだけ分かりやすく教えてください。

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A 回答 (3件)

基本はsiegmundさんが回答されているように、並び順を考慮するか否かにかかってます。


まずは、123と132を同じと見るか、違うと見るかに注目しましょう。
たとえばトランプのポーカーでは、26453の5枚を持っててもストレートになる、これはどちらかというと組み合わせ的思考。
ちなみに順列っていうのは、文字通り「並べる」という指向性が強く、またPの式って実はあまり使えないような。。。
というのも、確率の問題って、難しくなればなるほど、「並べ方」を考えるために、ワンクッションとして「選び方」を考えることが多くなります。
たとえば、111223の6つから3つを並べる並べ方のうち、異なる物は何通りあるか?という問題。
これは、まずどの3枚を使うかを考えて、たとえば111の3枚を使うなら、並べ方は1通り。123の3枚なら6通り。。。
これを全ての選び方を考え、それぞれの並べ方を考え、全部足すというのが定石になると思います。
逆に、Pの公式で対応できるものだったら、むしろ並べる「物」と並べる「場所」を考えて
1234の4つのうち3つを並べる問題だったら
□ □ □ ←並べる場所
↑ ↑ ↑   はじめに左に入れるものは4通り、そのどれを入れても
4×3×2通り 真ん中3通りずつ、右2通りずつ→積の法則
と考えるようにしたほうが、いろいろな「並べる」問題に対して応用が利くと思います。
(例)0123の4つを並べて偶数を作る作り方、とか。
1の位に0を入れたとき(6通り)+1の位に2を入れたときは千の位に0はだめだから(4通り)=10通り

あと大事なのが、いま自分が順列的思考か組み合わせ的思考かどちらを用いているかを明確に意識することですね。
これは特に確率の問題のやり始めで気を付けて欲しいのですが、全体の数(分母)と当たりの数(分子)で思考がばらばらにならないように、
あとたまにあるのが、10個中3個が当たりのくじを3つ同時に引いたとき、2つ当たる確率は?という問題で
(3/10)*(2/9)*(7/8)を答えにしてはいけないっていうのに明確に誤りを指摘できるかなんですけど、
これって実は1つずつ戻さずに3回引いて、「1つめに当たり」「2つ目に当たり」「3つめにはずれ」の確率を求めてることになります。実際ははじめはずれてあと当たるとかもあるので、実はこれの3倍になるのですが。
ただこの場合はむしろくじに1-10までの番号をつけて、123の3つをひくのも、132の3つをひくのも同じなんだから「組み合わせ的思考」。。。と考えてから問題に取り組むのがよいかと。分母は10C3=120通りで考えるということで。

あぁなんか話があっちこっちに飛んでしまってほんとすみません。
この手の話は、対話形式でやりとりしないとうまく伝えられなくて。
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n個の区別のつくものの中から,例えば2個とってきます.


2個の順番を区別するのが順列P,
区別しないのが組み合わせのCです.

何かの競争で8人の出場選手がいます.
1,2位を当てるとき
1位...A選手
2位...B選手

1位...B選手
2位...A選手
を区別するのが順列,区別しないのが組み合わせです.
順列なら56通り,組み合わせなら28通りですね.
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思考の坩堝にはまっていますな。


アドバイスとしては、cやpは武器(道具、ハードウェア)であって、問題を解決するのはソフトの役割(ハードをどのように運用するか)だということです。
文部省認定教科書というのは「ハードの説明書と簡単な例」で構成されていて肝心の「ハードの適用の仕方」というのが体系的に整っていないのである。

これを如実にあらわしているのが「微分積分は得意ですが確率は苦手」という高校生が多いということでしょう。
微分積分の教科書だって「ハードの説明書と簡単な例」にすぎないのですが、「ハードの説明」というのがわかりやすいという(これは厳密な証明をしないからである)のと、「簡単な例」は視覚的な問題が多いので解きやすいのである。
したがって、新しい知識が入ったとしてもどんどん覚えられる。

翻って「確率」はどうか。問題は視覚的なものも多い。だが個々の問題を記憶したからと言って何千もある問題に対処できないのは目に見えている。
やはり「ハードの適用の仕方」を学ぶ以外にないだろう。

さて私がmonginさんに言いたいことは、たとえ私が一つの問題を解説したとしても、それは「例」であって、あまたある問題を解説したことにはならないからです。
そこでいい本を紹介しましょう。「大学への数学、解法の探求・確率」という本です。定価1300円。

昔、ある用兵家がいいました。「ハードウェアがどんなに強大でもそれを運用する人間が駄目なら戦争は負ける」

がんばって下さい。
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Aベストアンサー

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか?

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3))
-Σ[i1,i2,i3,i4=1..n, i1<i2<i3<i4]P(C(i1)∩C(i2)∩C(i3)∩C(i4))+…+(-1)^(n-1)P(∩[i=1..n]C(i))
となり、交互に符号が代わり共通部分を取る集合の数も1つずつ増えます。

証明の方針はあっていますよ。

(*)式が間違っているように見えますが・・・。これではn=3のときにしか成立しません。
n=4のとき
P(C(1)∪C(2)∪C(3)∪C(4))
= P(C(1))+P(C(2))+P(C(3))+P(C(4))
-P(C(1)∩C(2))-P(C(1)∩C(3))-P(C(1)∩C(4))-P(C(2)∩C(3))-P(C(2)∩C(4))-P(C(3)∩C(4))
+P(C(1)∩C(2)∩C(3))+P(C(1)∩C(2)∩C(4))+P(C(1)∩C(3)∩C(4))+P(C(2)∩C(3)∩C(4))
-P(C(1)∩C(2)∩C(3)∩C(4))
というのは理解されていますか?

正しくは、
P(∪[i=1..n]C(i))
= Σ[i=1..n]P(C(i))-Σ[i1,i2=1..n, i1<i2]P(C(i1)∩C(i2))+Σ[i1,i2,i3=1..n, i1<i2<i3]P...続きを読む

QC(コンビネーション)

六人の生徒がいる。次のようなわけ方は何通りあるか。
〔1〕A、B、Cの三つに分ける
〔2〕二人ずつの三つに分ける

という問題で、1の場合は
コンビネーション6の2×C4の2×C2の2=90通り
となり2の場合は
90÷6=15となりますよね。

なんでコンビネーションで分けると自動的に組が決まっている(AとかBとかCとか)のかが分かりません。
そもそもコンビネーションって、N個の中からR個取り出して一組とするってことは、組に区別なんかないんじゃないかなぁって思うんですけど。。。教科書や参考書を見てもどうもよくわからなくて困っています。どなたかお願します。

Aベストアンサー

分けた組が区別できるか?できないか? 難しい所です
6人をa,b,c,d,e,fとすると
Aにab Bにcd Cにef と入れた場合とAにcd Bにab Cにefを入れた場合は区別できますね。組に名前がついているとその組に誰が入っているかで区別しています。
だからAに6人から2人 Bに残った4人から2人 Cに残った2人から2人と指定できます
組の名前がないと(ab)(cd)(ef)と(ef)(ab)(cd)は並び方が違っても同じ分け方になっていると解釈します並び方が違っても実質abとcdとefが組になっているので同じと考えています
この規則がこの問題の了解事項です
何で区別するかはだいたい組に名前が付いているか 組の人数が違う(例えば3人、2人、1人)などです。
4人1人1人では1人の組の2つはは区別できないので
(6C4*2C1*1C1)/2! 区別できない組の階乗で割ってます。

Qxy平面において放物線C1:y=x^2-4x-1を点P(P、2P)に関

xy平面において放物線C1:y=x^2-4x-1を点P(P、2P)に関して点対称移動して得られる放物線をC2とする。

と問題文にあるのですが、点Pの中に文字が含まれていてc2がどのようなグラフになるのか分かりません(>_<)

Pを使ってc2の式や頂点を表すにはどうしたらいいのか教えてください。(高校生です)

Aベストアンサー

C1上の点(x,y)を点P(p,2p)を中心に点対称移動したC2上の点Q(X,Y)とすると

(x+X)/2=p
(y+Y)/2=2p

これから
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C1の式に代入して
4p-Y=(2p-X)^2-4(2p-X)-1

Yについて整理
Y=-X^2+4(p-1)X-4p^2+12p+1

一般の流通座標にX,Yを置き換えて
y=-x^2 +4(p-1)x-4p^2+12p+1
=-{x-2(p-1)}^2 +4p+5

これが求める軌跡の放物線の方程式です。
上に凸の対称軸 x=2(p-1)、頂点のy座標 4p+5 の放物線ですね。
グラフはご自分で描けるでしょうね。

QP(0), P(1),P(2),・・・, P(n)が整数ならば、全ての整数kに対してP(k)は整数

『nを自然数, P(x)をn次の多項式とする。P(0), P(1),P(2),・・・, P(n)が整数ならば、全ての整数kに対してP(k)は整数であることを証明せよ。』

数学的帰納法で解けるらしいのですが、分かりません。どなたか教えてください。

Aベストアンサー

別に帰納法でなくても証明可能だ。
いったん証明を書いてしまったが、削除。途中まで記載。

多項式全体の成す環を R[x] としよう(面倒なので R は実数体)
R[x] の R 上のベクトル空間としての基底を下記のように取る

P_0 = 1, P_1 = x, P_2 = x(x-1), P_3 = x(x-1)(x-2), ...

以下略

Qもしあるpが存在して、q(p(x)) が r(p(x)) と同値なら、任意のpに対して、 q(p(x)) は r(p(x)) と同値 ですか? 

p,q,r は論理記号とし、= で必要十分条件を表すとします。そのとき、もしあるpが存在して、q(p(x)) = r(p(x)) が成り立つなら、任意のpに対して、q(p(x)) = r(p(x)) が成り立つと思うのですが、正しいのでしょうか?教えてください。

Aベストアンサー

両者が同値というのは、全てのpにたいして同値という事ですから、任意のpに成立します。


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