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パームテーションのpと、コンビネーションのc、問題がでても、どちらを使えばいいのか違いが分かりません。できるだけ分かりやすく教えてください。

A 回答 (3件)

基本はsiegmundさんが回答されているように、並び順を考慮するか否かにかかってます。


まずは、123と132を同じと見るか、違うと見るかに注目しましょう。
たとえばトランプのポーカーでは、26453の5枚を持っててもストレートになる、これはどちらかというと組み合わせ的思考。
ちなみに順列っていうのは、文字通り「並べる」という指向性が強く、またPの式って実はあまり使えないような。。。
というのも、確率の問題って、難しくなればなるほど、「並べ方」を考えるために、ワンクッションとして「選び方」を考えることが多くなります。
たとえば、111223の6つから3つを並べる並べ方のうち、異なる物は何通りあるか?という問題。
これは、まずどの3枚を使うかを考えて、たとえば111の3枚を使うなら、並べ方は1通り。123の3枚なら6通り。。。
これを全ての選び方を考え、それぞれの並べ方を考え、全部足すというのが定石になると思います。
逆に、Pの公式で対応できるものだったら、むしろ並べる「物」と並べる「場所」を考えて
1234の4つのうち3つを並べる問題だったら
□ □ □ ←並べる場所
↑ ↑ ↑   はじめに左に入れるものは4通り、そのどれを入れても
4×3×2通り 真ん中3通りずつ、右2通りずつ→積の法則
と考えるようにしたほうが、いろいろな「並べる」問題に対して応用が利くと思います。
(例)0123の4つを並べて偶数を作る作り方、とか。
1の位に0を入れたとき(6通り)+1の位に2を入れたときは千の位に0はだめだから(4通り)=10通り

あと大事なのが、いま自分が順列的思考か組み合わせ的思考かどちらを用いているかを明確に意識することですね。
これは特に確率の問題のやり始めで気を付けて欲しいのですが、全体の数(分母)と当たりの数(分子)で思考がばらばらにならないように、
あとたまにあるのが、10個中3個が当たりのくじを3つ同時に引いたとき、2つ当たる確率は?という問題で
(3/10)*(2/9)*(7/8)を答えにしてはいけないっていうのに明確に誤りを指摘できるかなんですけど、
これって実は1つずつ戻さずに3回引いて、「1つめに当たり」「2つ目に当たり」「3つめにはずれ」の確率を求めてることになります。実際ははじめはずれてあと当たるとかもあるので、実はこれの3倍になるのですが。
ただこの場合はむしろくじに1-10までの番号をつけて、123の3つをひくのも、132の3つをひくのも同じなんだから「組み合わせ的思考」。。。と考えてから問題に取り組むのがよいかと。分母は10C3=120通りで考えるということで。

あぁなんか話があっちこっちに飛んでしまってほんとすみません。
この手の話は、対話形式でやりとりしないとうまく伝えられなくて。
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n個の区別のつくものの中から,例えば2個とってきます.


2個の順番を区別するのが順列P,
区別しないのが組み合わせのCです.

何かの競争で8人の出場選手がいます.
1,2位を当てるとき
1位...A選手
2位...B選手

1位...B選手
2位...A選手
を区別するのが順列,区別しないのが組み合わせです.
順列なら56通り,組み合わせなら28通りですね.
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思考の坩堝にはまっていますな。


アドバイスとしては、cやpは武器(道具、ハードウェア)であって、問題を解決するのはソフトの役割(ハードをどのように運用するか)だということです。
文部省認定教科書というのは「ハードの説明書と簡単な例」で構成されていて肝心の「ハードの適用の仕方」というのが体系的に整っていないのである。

これを如実にあらわしているのが「微分積分は得意ですが確率は苦手」という高校生が多いということでしょう。
微分積分の教科書だって「ハードの説明書と簡単な例」にすぎないのですが、「ハードの説明」というのがわかりやすいという(これは厳密な証明をしないからである)のと、「簡単な例」は視覚的な問題が多いので解きやすいのである。
したがって、新しい知識が入ったとしてもどんどん覚えられる。

翻って「確率」はどうか。問題は視覚的なものも多い。だが個々の問題を記憶したからと言って何千もある問題に対処できないのは目に見えている。
やはり「ハードの適用の仕方」を学ぶ以外にないだろう。

さて私がmonginさんに言いたいことは、たとえ私が一つの問題を解説したとしても、それは「例」であって、あまたある問題を解説したことにはならないからです。
そこでいい本を紹介しましょう。「大学への数学、解法の探求・確率」という本です。定価1300円。

昔、ある用兵家がいいました。「ハードウェアがどんなに強大でもそれを運用する人間が駄目なら戦争は負ける」

がんばって下さい。
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