極限

lim[u→∞]{1/4-(1/2)(ue^-2u)-(1/4)(e^-2u)} はどうなりますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/05 00:11

lim[u→+∞]{ 1/4 - (1/2)ue^(-2u) - (1/4)e^(-2u) }

= 1/4 - (1/2) lim[u→+∞]ue^(-2u) - (1/4) lim[u→+∞]e^(-2u)
= 1/4 - (1/2) lim[u→+∞] 0 - (1/4) 0
= 1/4　に収束します。

lim[u→+∞]e^(-2u) = lim[u→+∞]1/e^(2u) = 0　は自明でしょう。
lim[u→+∞]ue^(-2u) = lim[u→+∞]u/e^(2u) = 0　もほぼ自明だけれど、
もしも証明が必要なら、
u>0 のとき e^(2u) をマクローリン展開して
e^(2u) = 1 + (2u) + (1/2)(2u)^2 + ... より、
0 < u/e^(2u) < u/{ (1/2)(2u)^2 } = 1/(2u) → 0 のハサミウチで
lim[u→+∞]u/e^(2u) = 0　とでもすればいいでしょう。