初歩的な質問なんですが、なぜ微分が入ったこのh(x)を積分するとこのような回答になるのか、計算を教え

初歩的な質問なんですが、なぜ微分が入ったこのh(x)を積分するとこのような回答になるのか、計算を教えてください。

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/19 19:57

No.4&5 です。

#3さん、#6さんのとおり、置換積分が一番楽そうですね。

y = 2x - x^2
とおけば
　dy/dx = (2x - x^2)'
なので
　∫h(x)dx = (1/2)∫(2x - x^2)' (2x - x^2)^(1/2)dx
　　　　　= (1/2)∫(2x - x^2)^(1/2)(dy/dx)dx
　　　　　= (1/2)∫y^(1/2)dy
　　　　　= (1/2)(2/3)y^(3/2) + C
　　　　　= (1/3)(2x - x^2)^(3/2) + C

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/19 08:08

y = 2x - x^2 と置く。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/19 00:58

No.4 です。

あ、最後の行に積分記号が抜けた。

（誤）
従って、
　h(x) = (2/3)(1/2)(2x - x^2)^(3/2) + C'　(C' = (2/3)C）

↓

（正）
従って、
　∫h(x)dx = (2/3)(1/2)(2x - x^2)^(3/2) + C'　(C' = (2/3)C）

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/19 00:56

No.1 です。

「部分積分」を適用してみれば

h(x) = (1/2)(2x - x^2)' (2x - x^2)^(1/2)

なので
∫h(x)dx = (1/2)∫(2x - x^2)' (2x - x^2)^(1/2)dx
　　　　= (1/2)(2x - x^2)(2x - x^2)^(1/2) - (1/2)∫{(2x - x^2)[(2x - x^2)^(1/2)]'}dx
　　　　= (1/2)(2x - x^2)^(3/2) - (1/2)∫{(2x - x^2)[(1/2)(2x - x^2)^(-1/2) *(2x - x^2)']}dx + C
　　　　= (1/2)(2x - x^2)^(3/2) - (1/4)∫{(2x - x^2)^(1/2) *(2x - x^2)'}dx + C

ここで、この第2項は (1/2)∫h(x)dx に等しいので
　∫h(x)dx = (1/2)(2x - x^2)^(3/2) - (1/2)∫h(x)dx
整理して
　(3/2)∫h(x)dx = (1/2)(2x - x^2)^(3/2) + C
従って、
　h(x) = (2/3)(1/2)(2x - x^2)^(3/2) + C'　(C' = (2/3)C）

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/01/19 00:39

置換積分だねぇ.

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/01/18 22:04

h(x)=(1/2)(2x－x^2)'(2x－x^2)^(1/2)……①

h(x)=(1/2){k(2x－x^2)^n}' とすると、
h(x)=(1/2){kn(2x－x^2)'(2x－x^2)^(n－1)}……②

①、②より、
kn=1
n－1=1/2

これより、
n=3/2
k=2/3

よって、
h(x)=(1/2){(2/3)(2x－x^2)^(3/2)}'

したがって、
∫h(x)dx=(1/2){(2/3)(2x－x^2)^(3/2)}+C

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/18 20:48

部分積分というものをご存じありませんか？

↓　部分積分
https://todai-counseling.com/?p=2583
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …