重積分について

次の問題の重積分が分かりません
D = {(x, y) ∈ R2| 0 ≤ y ≤ x ≤ 1} として, 重積分
∫ ∫D e^x＾2dxdyをもとめよ
とく順序を教えてください

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/20 17:07

基本は、まず y で 0→x の区間で定積分して、次に x で 0→1 の区間で定積分すればよいです。

（まず x で y→1 の区間で定積分して、次に y で 0→1 の区間で定積分してもよいですが、e^(x^2) を x で積分するのは難しい）

∫ ∫(D)[e^(x^2)]dxdy
= ∫[0→1]{∫[0→x][e^(x^2)[dy}dx
= ∫[0→1]{[ye^(x^2)][0→x]}dx
= ∫[0→1]{xe^(x^2)}dx

ここで、
　x^2 = t
とおけば
　dt/dx = 2x
→　x = (1/2)(dt/dx)
x:0→1 のとき t:0→1 なので

= ∫[0→1](e^t)(1/2)(dt/dx)dx
= (1/2)∫[0→1](e^t)dt
= (1/2)[e^t][0→1]
= (e - 1)/2

この回答へのお礼

ありがとうございました。
理解できました

お礼日時：2021/01/22 18:32