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二重積分の問題で(1)I=∬(x^2+y^2)dxdy D={(x,y):|x|+|y|≦1} (2)∬(xy-y)dxdy D={(x,y):x^2+y^2≦2x+2y-1} という問題が分かりません。教えてください。お願いします。

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A 回答 (2件)

(1)


対称性から第一象限の範囲の積分を4倍すればよいので
I=4∫[0,1] {∫[0,1-x](x^2+y^2)dy}dx
と書けます。

I=4∫[0,1] [yx^2+y^3/3][y:0,1-x]dx
=4∫[0,1] [(1-x)x^2+(1-x)^3/3]dx
=4 [x^3/3-x^4/4-(1-x)^4/12] [0,1]
=4 {(1/3)-(1/4)+(1/12)}=2/3

(2)
I=∬[D](xy-y)dxdy
D={(x,y):x^2+y^2≦2x+2y-1}={(x,y):(x-1)^2+(y-1)^2≦1}
X=x-1,Y=y-1で置換積分
I=∬[D1] X(Y+1)dXdY
D1={(X,Y):X^2+Y^2≦1}
X=r*cos(t),Y=r*sin(t)で置換積分
I=2∫[0,π] {∫[0,1]r*cos(t){r*sin(t)+1}rdr}dt

後はやってみてください。
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何が分からないのかを書いていただかないと、


適切なアドバイスをするのは難しいです。

とりあえず思うままに書いてみます。
分からないところがあればお礼欄や補足欄に書いて教えて下さい。

[1] Dが表す領域が分からない
(1)|x|+|y|≦1のような絶対値記号付きの式に関しては、
絶対値記号の中身の正負で場合分けします。
そして絶対値記号を外して下さい
(詳しくは高校数学の数1の教科書・参考書を確認してください)。

たとえば0 ≦ x, 0 ≦ yなら
|x| + |y| ≦ 1

x + y ≦ 1
∴ y ≦ -x + 1

0 ≦ x, y < 0なら
|x| + |y| ≦ 1

x - y ≦ 1
∴ y ≧ x - 1

のような感じになります。
(1)の領域の場合、これ以外にあと2種類くらい場合分けが必要です。

(2)に関しては不等式x^2 + y^2 ≦ 2x + 2y - 1の全部の項を左辺に移して
x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 ≦ 0とします。
これは円の式の形に似ています。
なのでまずは領域が円なのかどうかを考えてみてはどうでしょうか
(詳しくは高校数学の数2の教科書・参考書を確認してください)。

[2] 不定積分の仕方が分からない
xで不定積分する時はyは定数扱いにし、
yで不定積分する時はxを定数扱いにして積分します。
x^3 + xyをxで不定積分すると(1/4)x^4 + (1/2)(x^2)y + Cとなります。

[3] 不定積分は出るけど、定積分値の求め方が分からない
1変数関数y = f(x)の定積分は、曲線y = f(x)が作る平面の面積を表しますよね。
2変数関数z = f(x, y)の二重積分は、曲面z = f(x, y)が作る立体の体積を表します。
なので今回の場合、どうやって立体を作り上げていけばよいかを考えれば良いです。

便宜上、x軸正の向きを右側、負の向きを左側とし、
y軸正の向きを上側、負の向きを下側と呼びます。

(A)まずx, yどちらか一方で積分し、立体の切断面の面積を求めます。
(A-i)xで積分する場合
z = f(x, y)をxz平面に並行な面で切断した時の切断面の面積を求めます。
切断面の面積はy座標によって異なるので、この面積はyの式で表わされます。
図を描くと分かると思いますが、積分範囲は領域の左端から右端までです。
領域の左端と右端のx座標をyを使って表し(領域の境界線の式を利用して下さい)、
実際に定積分してください。
(A-ii)yで積分する場合
z = f(x, y)をyz平面に平行な面で切断した時の切断面の面積を求めます。
こちらも同様に、切断面の面積はx座標によって異なります。
なので面積はxの式で表わされます。
積分範囲は領域の下端から上端までとなります。
下端と上端のy座標をxを用いて表し、実際に定積分します。

(B) 片方の文字での定積分が終わったら、もう片方の文字での定積分を行います。
先ほど考えた薄い切断面を重ねていって、立体を作り上げるようなイメージです。
(B-i)最初にxで積分していた場合
「xz平面に平行な切断面」を下端から上端まで重ねていって立体を作ります。
なので切断面の式をyで定積分すればよいわけです(積分範囲は下端から上端)。
今回は下端と上端のy座標は普通の数で出てくるはずです。
(B-ii)最初にyで積分していた場合
同様に「yz平面に平行な切断面」を左端から右端まで重ねて立体を作り上げます。
つまり切断面の式をxで定積分することになります(積分範囲は左端から右端)。
こちらも左端と右端のx座標は普通の数で出てきます。
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Q∬1/√(x^2+y^2)dxdy を求めよ。

∬1/√(x^2+y^2)dxdy を求めよ。
積分範囲は、1=<x^2+y^2=<4,x>=1,y>=0
次のようにやってみました。
∫[1->2]{∫[0->√(4-x^2)]1/√(x^2+y^2)dy}dx
=∫[1->2]{log(y+√(y^2+x^2)}[0->√(4-x^2)]dx
=∫[1->2]{log(√(4-x^2)+2)-logx)dx
となりました。ここからxについての積分ができません。
アドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

このような形の積分は極座標変換するのが一般的かと思います。

D={(x,y)|1≦x^2+y^2≦4,0≦x,0≦y}.

x=rsin(θ).
y=rcos(θ).

この変数変換のヤコビアンは、r。

dxdy=rdrdθ.
積分領域DはE={(r,θ)|1≦r≦2,0≦θ≦π/4}に変わる。

∬[D]dxdy/(x^2+y^2)
=∬[E]drdθ/r
=∫[0,π/4]dθ∫[1,2]dr/r}
=πlog(2)/4.

Q重積分∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy (a>

重積分∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy (a>0) D: x^2 + y^2 <= a^2を極座標
で解こうとしているのですが、うまくいきません。
本の答えの"(2πa^3)/3"まで、どうにか辿り着かせてください。m(__)m

自分がやったところまで書きますと、
0 <= r <= a (自信なし)
0 <= θ <= 2π
√(a^2 - (r cos(θ))^2 - (r sin(θ))^2)
=√(a^2 - r^2 cos(θ)^2 - r^2 sin(θ)^2)
=√(a^2 - r^2(cos(θ)^2 + sin(θ)^2))
=√(a^2 - r^2)
(この時点でθが残ってないのが怪しい…)

∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy
=∫∫_E √(a^2 - r^2) drdθ
=∫[0,2π] dθ ∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) dr
=∫[0,2π] dθ [(2/3)(1/2r)(a^2 - r^2)^(3/2)][0,a] (ここからまったく自信なし)
=∫[0,2π] dθ [(1/3r)(a^2 - r^2)^(3/2)][0,a]
=∫[0,2π] dθ [(1/3a)(a^2 - a^2)^(3/2)] - [(1/3(0))(a^2 - 0^2)^(3/2)]
…0では割れないので間違っているはずです。

計算機で∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) drを解くと
(a・|a|・π)/4
と出ます。これも正しいのか分かりません。

まずは、この問題でのrとθの範囲の取り方を教えてください。
お願いします。

重積分∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy (a>0) D: x^2 + y^2 <= a^2を極座標
で解こうとしているのですが、うまくいきません。
本の答えの"(2πa^3)/3"まで、どうにか辿り着かせてください。m(__)m

自分がやったところまで書きますと、
0 <= r <= a (自信なし)
0 <= θ <= 2π
√(a^2 - (r cos(θ))^2 - (r sin(θ))^2)
=√(a^2 - r^2 cos(θ)^2 - r^2 sin(θ)^2)
=√(a^2 - r^2(cos(θ)^2 + sin(θ)^2))
=√(a^2 - r^2)
(この時点でθが残ってないのが怪しい…)

∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy
=∫∫_E √(a^2 - r^2) drdθ
=∫[0,2π] d...続きを読む

Aベストアンサー

x や y をどのように置くのか書かないとダメだろ.... 自分の中だけで完結するならともかく, このように他人の目に触れることを前提にするなら「書かなくてもわかってくれるはず」という甘えはなくしてほしい.
で x = r cos θ, y = r sin θ とおくと
√(a^2 - x^2 - y^2) = √(a^2 - r^2) です. ここは θ が消えるのが正解... というか, ここで θ が残らないように置換しているんだから消えて当然, 消えない方がおかしい.
でそこはいいんだけど
∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy
=∫∫_E √(a^2 - r^2) drdθ
は間違っています. 置換積分についてきちんと確認してください.
なお, ここから既に間違っているので本筋とは全く関係ありませんが
∫[0,2π] dθ ∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) dr
=∫[0,2π] dθ [(2/3)(1/2r)(a^2 - r^2)^(3/2)][0,a]
も間違いです.
で (この問題とは全く無関係なので) もう本当にどうでもいいのですが
「計算機で∫[0,a] (a^2 - r^2)^(1/2) drを解くと
(a・|a|・π)/4
と出ます」の部分は正しい.

x や y をどのように置くのか書かないとダメだろ.... 自分の中だけで完結するならともかく, このように他人の目に触れることを前提にするなら「書かなくてもわかってくれるはず」という甘えはなくしてほしい.
で x = r cos θ, y = r sin θ とおくと
√(a^2 - x^2 - y^2) = √(a^2 - r^2) です. ここは θ が消えるのが正解... というか, ここで θ が残らないように置換しているんだから消えて当然, 消えない方がおかしい.
でそこはいいんだけど
∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2) dxdy
=∫∫_E √(a^2 - r^2) drdθ
は間違っていま...続きを読む

Q広義重積分の積分範囲について

次の積分を求めよ。
(1)
D={(x,y):0≦y<x≦1}のときの∬_D(1/√(x-y))dxdy

(2)
E={(x,y):0<x≦y≦1}のときの∬_E(1/√(x^2+y^2))dxdx

という二つの問題についてですが、解答を見て(1)についてはDをD_n={(x,y):1/n≦x≦1,0≦y≦x-(1/n)}とすればよいというのは分かったのですが、(2)についてはE_nを決めることが出来ません。解答には「E_nを右図のようであるとする」と書いていたのですが図は明らかにE_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}となっていました。
これでは最終的にn→∞としても最初の条件である0<xが満たされないのでダメなように見えるのですがこれでよいのでしょうか?また解答のように図で示すのではなく上に書いたような不等式で示すにはどのように書けばよいのでしょうか?(この問題に関して)
まだ何題かしか解いていないのでイマイチ範囲の取り方がつかめません。何かポイントがありましたらアドバイスよろしくお願いします!

Aベストアンサー

#1,#2です。
A#2に補足質問についての回答

>「D_nを導入しなくても∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3計算できます」と計算できるのは分かりますがここでxの積分範囲は[y→1]となっていてy<x≦1と合わないのでやはりD_nを導入して極限を使わなければダメな気がするのですが...

厳密に言えば等号を含まない場合の積分の上限、下限では極限を取らないといけないことはおっしゃる通りです。ただし、積分が発散しないような場合は、極限を取らなくても積分結果は極限をとった場合と同じ積分結果が正しく求まりますね。

極限を取らない場合の積分の考え方
ステップ1)
0≦y<1の範囲の任意のyを固定して
xで積分するわけです。
ここではxについての積分ですのでyは定数になります。
xの積分範囲はy<x≦1から[y→1]ですね。
厳密に言えばy<xで等号を含んでいませんのでxの下限はyでないですが
∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=2√(1-y)となります。

ステップ2)
今度は0≦y<1から積分範囲は[0→1]
∫[0→1]2√(1-y)dy=4/3

となります。

>ちなみに(2)も極限を取るにせよ結局は積分しなければ進めませんよね?

そうですね。積分を少し工夫しないといけませんね。
多分、ヤコビアンを使って変数変換をしないといけませんね。少し考えて見ましょう。

ただし、それが出来れば
∫[0→1]dy∫[0→y]{1/√(x^2+y^2)}dx
からも計算できてしまいますね。

#1,#2です。
A#2に補足質問についての回答

>「D_nを導入しなくても∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3計算できます」と計算できるのは分かりますがここでxの積分範囲は[y→1]となっていてy<x≦1と合わないのでやはりD_nを導入して極限を使わなければダメな気がするのですが...

厳密に言えば等号を含まない場合の積分の上限、下限では極限を取らないといけないことはおっしゃる通りです。ただし、積分が発散しないような場合は、極限を取らなくても積分結果は極限をとった場合と同じ積分結果が正しく求まりま...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q楕円の変数変換

楕円E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか?

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ<π}
 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
 =4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。

Q二重積分

∫∫e^{-(x+y)^2} dxdy (積分領域はx≧0,y≧0)
の求め方が分かりません。
色々置き換えなどをやってみたのですが
(例えばx+y=u,x=vとかx+y=u,x-y=vなど)
うまくいきません。
どなたか教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

u=x+y,v=xとおくと、積分範囲は、D={(u,v)|u≧0, 0≦v≦u}
ヤコビアンを考えて、dxdy=dudv

∫∫_{D} e^(-u^2) dudv
=∫{u:0→∞}e^(-u^2)*{∫{v:0→u}dv}du
=∫{u:0→∞}ue^(-u^2)du
=[(-1/2)*e^(-u^2)]
=1/2

・・・極座標より、よっぽど簡単だと思いますが。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qx/(a^2+x^2)の積分について

x/(a^2+x^2)の積分について

t=a^2+x^2とおいて
dt=2xdx
よって
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C
と置換積分により積分することが出来ますが、
部分積分では計算できないのでしょうか?

(a^2+x^2)'=2x
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx
として計算できると思ったのですが、うまく行きません。
どなたかアドバイス頂けたら幸いです。

Aベストアンサー

#2です.

部分積分 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx が,実は,
積の微分 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を積分して
構成した式である.と言うことは,ご存じでしょう.

また,部分積分の式は,

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫(f'(x)∫g(x)dx)dx

と書くこともあります.ですから,私は,∫f(x)g(x)dx を得たい時,
まず,∫(f'(x)∫g(x)dx)dx が積分できるかどうかを調べます.

一般に,積分や微分方程式を解く場合に,ある決まった統一的な,
方法というものがありません.個々の場合について,想像力や創造力を
働かして,個別に,新しく考えねばなりません.そこが,また,魅力とも言えるでしょう.

高校,大学の演習問題ならば,過去に考えられている方法のいずれかが応用できます.
しかし,大学院や社会へ出るなどして直面する問題には,新しい方法を必要とする場合が多いです.
その時は,過去の応用問題は役に立たず,やはり想像力や創造力を発揮しなければ解決しない事が多いでしょう.

そこで,あなたが,

>>「部分積分の形にすることができれば必ず求めたい積分が得られる!」

のではないか,と思い込んだ,その着想が大事なのです.
そういう着想・アイデア・手がかりの思いつき,などがなければ,物事の進歩・発展はないのです.

そう言う,あなたの意識が「お礼」に書かれていましたので,
また,この様な,つたない回答(投稿)となりました.

●(注)些細な事かも知れませんが,f(x)の微分は,
  f(x)' ではなく f'(x) と書くのが正しいと思います.
  手書きで書く時も,カッコの後にプライム(ダッシュ)をつける
   f(x)' ではなく,f にプライムを付けて,f'(x) と書いています.
  私は,学生時代から今に至るまで,永年その様に書いていますが,
  最近の記号法は変わりましたか?

とめどもない書き込みで,お時間を取らせまして,大変失礼いたしました.

#2です.

部分積分 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx が,実は,
積の微分 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を積分して
構成した式である.と言うことは,ご存じでしょう.

また,部分積分の式は,

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫(f'(x)∫g(x)dx)dx

と書くこともあります.ですから,私は,∫f(x)g(x)dx を得たい時,
まず,∫(f'(x)∫g(x)dx)dx が積分できるかどうかを調べます.

一般に,積分や微分方程式を解く場合に,ある決まった統一的な,
方法というものがありません.個々の場合について,想...続きを読む

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Q極座標による重積分の範囲の取りかた

∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy  D:(x^2 + y^2 <= π^2)
を極座標でに変換して求めよ。

という問題で、

x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、
rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。


x^2+y^2
= (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2
= r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2}
= r^2< = π^2

とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか?
rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

Dは原点中心の半径πの円盤なので、
0≦r≦π、0≦θ<2πです。(-π<θ≦πでもよいです。
等号もどっちにつけても良いです)

ちなみに極座標ではr≧0です。

極座標は原点からの距離rと、x軸とのなす角θを使った点の表示
方法です。


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