これの(ⅳ)を例題68と同じような解き方で解いたのですが、答えが合いません、、 (1次式)×(2次式

これの(ⅳ)を例題68と同じような解き方で解いたのですが、答えが合いません、、
(1次式)×(2次式)の形で表すとcosx{cos²x-(1-β)}=0になって{ }の中が異なるふたつの実数解をもつためにD＞0を計算すると、β＜1になってしまって0＜β＜1になりませんでした(答えは0＜β＜1と書いてありました)
どの部分が間違っているのかを教えてください

質問者からの補足コメント

• 例題68です
  よろしくお願いします

  
    補足日時：2021/01/26 00:42

• なるほど！！
  一か所だけ疑問があるのですが、|Y|=√(1-β)＜1のところで絶対値をつけずに -1＜±√(1-β)＜1 にすると、答えがβ＜0になりませんでした。このようにするとなぜだめなのでしょうか？

    補足日時：2021/01/26 15:14

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/26 16:30

No.2 です。

「補足」について。

＞一か所だけ疑問があるのですが、|Y|=√(1-β)＜1のところで絶対値をつけずに -1＜±√(1-β)＜1 にすると、答えがβ＜0になりませんでした。このようにするとなぜだめなのでしょうか？

√(1-β) > 0
-√(1-β) < 0

ですから
　0 < √(1-β) < 1　　　①
　-1 < -√(1-β) < 0　　②
です。

①は全て正の範囲ですから、2乗すれば
　0 < 1 - β < 1
ですが、②は「負」ですから、2乗つまり「負」をかけるので不等号の向きが変わります。つまり
　1 > 1 - β > 0
です。

結果的に同じことになりますね。

この回答へのお礼

よく分かりました
ありがとうございます！！

お礼日時：2021/01/26 19:28

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/26 09:58

f(x) = βg(x) は

　sin(x)*cos(パイ - x) = β*cos(パイ - x)/sin(x)
ということなので、これを変形して
　sin^2(x)*cos(パイ - x) = β*cos(パイ - x)

cos(パイ - x) = -cos(x) 、sin^2(x) = 1 - cos^2(x) を使って
　[1 - cos^2(x)][-cos(x)] = -β*cos(x)
→ cos^3(x) + β*cos(x) - cos(x) = 0
→ cos(x)*[cos^2(x) + β - 1] = 0

cos(x) = Y とおけば、0 < x < パイ　なので
　-1 < Ｙ < 1　　　　①
であり
　Y(Y^2 + β - 1) = 0

Y=0 が1つの実数解になるので、これが「３つの異なる実数解」を持つためには
　Y^2 + β - 1 = 0
を満たす「0」とは異なる解、つまり
　Y = ±√(1 - β) ≠ 0
が実数でなければならない。

従って
　1 - β > 0　→　β < 1
かつ①より
　｜Y｜ = √(1 - β) < 1
なので、２乗して
　1 - β < 1　→　0 < β

この両方の条件から
　0 < β < 1

Ｙ は例題68のように「任意の実数をとり得る変数」ではなく、三角関数を置換したものなので①のような制限が付くところが違います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/01/26 03:17

-1 ≦ cos x ≦ 1 という条件を忘れてる?

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/01/26 19:29