３次元における近似平面と点Pの交点を求めたい

３次元近似平面と点Pから直上する直線を引いた場合の近似平面と直線との交点を求めたいと思っています。

近似平面は最小二乗法で求め、z = w0 + w1 * x + w2 * yにおける係数wが求まっています。
もちろん点Pの座標を代入して計算すると近似平面と点Pの最短距離を求めることはできます。

しかし今回は最短距離ではなく点Pからz方向に直線を引いたときの近似平面との交点を知りたいです。
イメージ的には添付画像のような感じです。
図に記載されている斜面の赤のメッシュは各XY座標における近似平面となっています。

なおZの値は必ず 近似平面＞点P となります。
アドバイス頂けますでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 申し訳ございません。
  質問内容にはZ軸と平行の直線を引くと記載していましたが、よくよく考えてみたらこれは誤りで近似平面と点Pが垂直になる直線でした。
  イメージとしては改めて再添付した画像のようになります。
  
  再度整理すると最小二乗法で算出した３次元近似平面 z = w0 + w1 * x + w2 * y(wは算出済) と点Pが存在します。
  点Pと近似平面が垂直になるような直線を引いた場合の交点を求めたいです。
  
  再度になり申し訳ございません。

  
    補足日時：2021/02/01 11:37

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/01 17:15

平面から点Pへの最短距離になる点(x,y,z)をお求めである。

これは幾何の問題としてなら成立し、P=(Px,Py,Pz)だとして
　　x = Px + w1(Pz-z)
　　y = Py+ w2(Pz-z)
　　z = (w0 + w1(Px+w1Pz) + w2(Py+w2Pz))/(1 + w1^2 + w2^2)
となる。

　ですが、これを計算しても意味がないでしょう。（少なくとも近似平面を考えるという文脈においては。最小二乗法を「データの点の散布図に最もよく合う平面」というナイーブな直感で捉えていると、ナンダカいかにもこの計算に意味があるかのような気がするでしょうけれども、実は無意味である。）

　なぜなら、最小二乗法を使って近似式を作る際に、X,Y,Zの値の単位は自由に選べます。そして単位をどう選ぼうと、近似の結果は正確に同じになります。例えばXをmm単位の数値にするか、inch単位の数値にするかで、近似値が変わることはありません。
　けれども、X,Y,Zの値の単位を変えるとグラフの軸の縮尺が変わりますから、点Pから平面までの距離も変化する。ある軸の尺度を変化させるとグラフがその軸方向に伸縮するために、ある尺度では「点Pから平面に降ろした垂線」だったものが、別の尺度だと垂線じゃなくなっちゃうわけです。だから、グラフの描き方・見方を変えたらそれに連れて変わってしまう、儚いものに過ぎない。

　一方、最初に質問なさった「点Pから直上する直線を引いた場合の近似平面と直線との交点」と点Pとの距離
　| ( w0 + w1 Px + w2Py) - Pz |
は、（Pがサンプルデータを表す点であるとすると）近似の残差(residue)という明確な意味を持っています。

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2021/02/01 10:51

直上ということはZ軸に平行な直線との交点で良いのでしょうか？

点Pと（x,y）の値は同じなので、求められた式に（x,y）の値を代入するだけで良いのではないですか？