arcsin(x)
arctan(x)
のMaclaurin級数を求めたいと思い、
てはじめに
(1+x^2)^α
のマクローリン展開を求めようと思いました。
でも式がまとまらず、息詰まってしまいました。
方針として間違っているのでしょうか?

別のアタックの仕方なども含めて教えて下さい。

A 回答 (4件)

arcsin(x)


arctan(x)
の1階微分がそれぞれ (1+x^2)^(-1) と (1+x^2)^(-1/2) になるから
これらの マクローリン展開を求めて項別積分という発想ですね.

arctan(x) の方は brogie さんの方法で解決.

arcsin(x) の方は,二項定理
(1)  (1+y)^k = Σ_{n=0}^∞ {k(k-1)(k-2)・・・(k-n+1) / n!} y^n
を使えばできます.
今は,k=-1/2,y=x^2 になっていますから,簡単な変形で
(2)  (1+x^2)^(-1/2) = Σ_{n=0}^∞ {(-1)^n (2n-1)!! / 2^n n!} x^(2n)
になり,項別積分で
(3)  arcsin(x) = Σ_{n=0}^∞ {(-1)^n (2n-1)!! / 2^n n! (2n+1)} x^(2n+1)
が得られます.
(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)...3・1 です.

(1+x^2)^(-1/2) を何度も微分するとなると,一般項は Bell 多項式で表現できますが
ちょっと面倒そうです.
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この回答へのお礼

また質問です。
(1+y)^k = Σ_{n=0}^∞ {k(k-1)(k-2)・・・(k-n+1) / n!} y^n
のyにx^2を代入して、等式は成り立つのでしょうか?
次数の違うものを代入するのはどうもしっくりこないのですが

お礼日時:2001/08/22 04:23

siegmund です.



> brogieさんのところで分からなかったのは、
> 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
> の等式自体があっているのかどうかです。

無限等比級数の和の公式
1/(1+y) = 1 - y + y^2 -y^3 + ...
の y に x^2 を代入したものです.
そういうわけで,収束のために条件 -1 < x < 1 がついているわけです.
収束円上のふるまいは微妙で,項別積分した arctan(x) の収束条件は
-1≦x≦1 です.

> それと、右辺の積分は x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...とはちがいますか?

しまった,brogie さんの回答を copy & paste したとき気づきませんでした.
すみません,おっしゃるとおりです.
もちろん,brogie さんが誤解しているわけではなくて, ミスタイプです.
つまり,
arctan(x) = x- x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...
です(グレゴリーの級数と名前が付いています).
この式に x = 1 を代入すると,有名なライプニッツの公式
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
が得られます.

> d(x^2)/dx=2x
> d(x^4)/dx=4x^3  
> のような時はただ代入する訳にもいかないのですが・・

最初の式の x の代わりに x^2 と置くと違うんじゃないか,ということですか?
最初の式 x の x に代わりに x^2 としたものは,
d(x^4)/dx じゃなくて d(x^4) / d(x^2) ですよ.
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この回答へのお礼

そうか・・両方をxで微分していたから違ったのか・・・
ありがとうございます。
収束半径の説明までいただいて。。感謝です。

お礼日時:2001/08/23 00:11

siegmund です.



> 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
> からつかえてしまいました。
> 右辺の分母を(1+x^2)にすると、分子は
> 1+x^2-x^2-x^4+x^4+x^6-x^6-x^8+... となりますよね

そりゃ,分母を同じにしたら等式なんだから分子も同じになりますよ.
そうじゃなくて,brogie さんが言われているのは
(※)  d(arctan(x))/dx = 1-x^2+x^4-x^6+....
の両辺を x で積分しなさい(0 から x まで),ということです.
左辺の積分は arctan(x) - arctan(0) = arctan(x) になり
(arctan(0) = 0 ですから),
右辺の積分は x-x^3+x^5-x^7/7+... になります.

> (1+y)^k = Σ_{n=0}^∞ {k(k-1)(k-2)・・・(k-n+1) / n!} y^n
> のyにx^2を代入して、等式は成り立つのでしょうか?
> 次数の違うものを代入するのはどうもしっくりこないのですが

ん?
等式なんだから,何代入したってOKですよ.
(1+y)^2 = 1 + 2y + y^2 を使って
(1+x^2)^2 = 1 + 2x^2 + x^4 とするでしょ.
同じことです.
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この回答へのお礼

brogieさんのところで分からなかったのは、
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
の等式自体があっているのかどうかです。
それと、右辺の積分は x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...とはちがいますか?

d(x^2)/dx=2x
d(x^4)/dx=4x^3  
のような時はただ代入する訳にもいかないのですが・・

お礼日時:2001/08/22 18:35

arctan(x)はつぎのような方法があります。


d(arctan(x))/dx=1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
この両辺を積分して
arctan(x)=x-x^3+x^5-x^7/7+...
(-1<x<1)

arcsin(x)は微分して、テクテク解いていく以外にはないでしょう。
arcsin(x)=x+(1/2)(x^3/3)+(1*3/2*4)(x^5/5)+(1*3*5/2*4*6*7)(x^7/7)+...
(-1<=x<=1)

では、頑張って解いて見て下さい。
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この回答へのお礼

すみません
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
からつかえてしまいました。
右辺の分母を(1+x^2)にすると、分子は
1+x^2-x^2-x^4+x^4+x^6-x^6-x^8+... となりますよね
右辺が1-x^2+x^4-x^6+...+x^n
とすると上のように考えた時の分子が1+x^(n+2)になってしまいます。
n=∞までやれば問題ないのでしょうか?

お礼日時:2001/08/22 03:58

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F(x)=Σ[k=0..∞](a_k/(k+1)),|x-c|<R.
[Q8](1)Use the previous exercise and the fact that d/dxArctan(x)=1/(1+x^2)
to obtain the Taylor series expansion of Arctan x about c=0.
(2)Use part (1) to obtain a series expansion for π.
(3) How large must n be chosen so that the nth partial sum of the series in
part (2) provides an approximation of π correct to four deciaml places?

[問7]f(x)=Σ[k=0..∞]a_k(x-c)^kはR>0の収束半径を持つ。
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"If {b_k} is a sequence of real numbers satisfying
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Aベストアンサー

計算は面倒なので追いません。
ご自分でお確かめ下さい。

(3)に関しては、Taylorの定理を使うのが賢いです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
小数第4位まで一致させればよいのですから、
この剰余項の絶対値が、0.5×10^(-4)以内に収まればよい。
これを用いてやりましょう。

なお、(1)に関して、
このような既に分かっている級数を用いて冪級数を導く手法は重要です。
Taylor展開ならまだ計算する気になりますが、
複素解析をやるとTaylor展開を拡張したLaurent展開というのが出てきまして、
こちらはとてもでないがマジメに計算していられません。
このようなときに、既に知っている級数を使って表すというのは、
労力を削る上で極めて重要です。

Qx^x^x^x^x^x^・・・・・^x  の一般的な表し方

タイトル通りになってしまいますが、

x^x^x^x^x^x^・・・・・・^x (xはn個ある)

を一般的に表すことができる式というのはあるものなのでしょうか?

grapesで
y=x
y=x^x
y=x^x^x
y=x^x^x^x
 ・
 ・
 ・

のグラフを描いてみましたところ、どうやらnが偶数か奇数かによって2種類のグラフに近づいているように見えたのです。どなたか一般的な記述の仕方をご存知の方、宜しくお願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

x^x^xはx^(x^x)と表すべきです。同様にx^x^x^xではなく、x^(x^(x^x))です。
これは(x^x)^xとx^(x^x)が等しくないから区別する必要があるわけです。
たとえば(3^3)^3=729なのに対し、3^(3^3)=19683です。
一般に後者の方が圧倒的に大きくなります。

さて、話をx^(x^(x^(…)))に戻しましょう。
これは定義域を[0,1]に限れば、確かにおっしゃるとおり偶数と奇数で
関数の形状が分かれます。これはx^x→1(x→0)が関係しています。
x^(x^x)は不定形の極限ではなく、単に0^1=0に収束します。
偶数個のときは不定形の極限が現れるわけです。
数学的帰納法とたとえばlogを取って極限計算をされてみたらよいでしょう。

さて問題になっている、x^(x^x)などの表記ですが、
これにはクヌースのタワー表記(1976)というものが知られています。
たとえば
x^(x^x)=x↑↑3
x^(x^(x^(x^(x^x))))=x↑↑6
などと表示します。参考URL(wiki)などをごらんください。
wikiによるとx^^3や、x^^6などとも表示するようです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%9F%A2%E5%8D%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98

x^x^xはx^(x^x)と表すべきです。同様にx^x^x^xではなく、x^(x^(x^x))です。
これは(x^x)^xとx^(x^x)が等しくないから区別する必要があるわけです。
たとえば(3^3)^3=729なのに対し、3^(3^3)=19683です。
一般に後者の方が圧倒的に大きくなります。

さて、話をx^(x^(x^(…)))に戻しましょう。
これは定義域を[0,1]に限れば、確かにおっしゃるとおり偶数と奇数で
関数の形状が分かれます。これはx^x→1(x→0)が関係しています。
x^(x^x)は不定形の極限ではなく、単に0^1=0に収束します。
偶数個のときは不定...続きを読む

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1/3・3^x+3・3^-x=3^x+3^-xを満たすxの求め方がわかりません・・・。
多分基本的な事を理解出来ていないのだと思います。
どなたか解法を教えて下さい。

Aベストアンサー

まず1/3・3^x+3・3^-x=3^x+3^-xの両辺に3^xを乗ずる。
すると(1/3)*(3^x)^2+3=(3^x)^2+1となる。
これを式整理すると,(2/3)*(3^x)^2=2
すなわち(3^x)^2=3となります。
ここで3^x>0であることより3^x=√3
よってx=log[3]√3=log[3]3^(1/2)=1/2

わかりましたか??


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