予習で数学2の二項定理を勉強しているのですが、どういう原理であの公式が成り立ってるのですか？

予習で数学2の二項定理を勉強しているのですが、どういう原理であの公式が成り立ってるのですか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/07 12:52

成り立つというか、二項定理って

二項係数の定義式なんですよ。
そう決めたというだけ。

この回答へのお礼

あぁ…　そうだったんですね！笑
回答ありがとうございます！！

お礼日時：2021/03/07 12:54

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/03/07 14:29

例えば

(a+b)(c+d)(e+f)を展開するときは
左のカッコからaを選んで、真ん中からcを選んで、右からはeを選んで掛け算して
aceという項があらわれます
他にも
左のカッコからaを選んで、真ん中からdを選んで、右からはeを選んで掛け算して
adeなどという項も現れます
これが～乗の展開の仕組みですよね

(a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)の展開の仕方も、基本はこの考え方と同じです
これを展開すると
左のカッコからaを選んで、真ん中からaを選んで、右からはaを選んで掛け算してa³という項が現れます
3つあるカッコから、３つともaを選んで掛け算しているので　
そのような掛け算の仕方は3C3通り
ゆえに
3C3a³(=a³)　という項が現れると考えるのです

次にa²項
左のカッコからaを選んで、真ん中からaを選んで、右からはbを選んで掛け算してa²bができます
左のカッコからaを選んで、真ん中からbを選んで、右からはaを選んで掛け算しても
左のカッコかbを選んで、真ん中からaを選んで、右からはaを選んで掛け算しても
おのおのa²bができるので
合計で　3a²bという項ができるわけです
このa²bができる掛け算は全部で3通りという判断は
「３つのカッコの中から、aを選ぶカッコ2個の決め方が3C2通りある」
という考え方で
掛け算もa２ことb１この掛け算も、3C2通り存在
a²bは全部で3C2個できる
つまり3C2a²b=(3a²b)が登場する
と判断するわけです

ab²などについても同様です

(a+b)⁴や(a+b)⁵などの展開でも考え方は同じで
例えば(a+b)⁵でa²b³となるような掛け算は
５つあるカッコのうち2か所からはaを選ぶので
5C2通り
ゆえに、5C2a²b³という係数になることが分かるのです

もし(a+b)のn乗でもやはり展開に対する考え方は同じで
例えば
a^(n-2)・b²になる掛け算は
nこのカッコからaを掛け算するカッコを(n-2)こ選ぶことになるので
nC(n-2)・a^(n-2)・b²となるわけです
これが2項定理の考え方

この回答へのお礼

なるほど…　理解すれば公式の文字もさほど難しくは見えませんね…　回答ありがとうございます！！

お礼日時：2021/03/07 14:38

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2021/03/07 16:16

簡単な例を挙げると、

(a+b)^4=aaaaが4個
＋aaab+aaba+abaa+baaa　4個（これは、a3個とｂ1個の組み　　　
　　　　　　合わせと同じなので　₄C₁）
+aabb+abab+abba+baba+bbaa+baab　6個（これは、a２個　　
　　　　　　とｂ２個の組み合わせと同じなので　₄C₂）
+abbb+babb+bbab+bbba　4個（これは、a１個とｂ３個の組　　　
　　　　　　み合わせと同じなので　₄C₃）
+bbbbが4個
となります。
　　aaaaが4個と　bbbbが4個ありますが、区別できないので1個づつにし
　　ます。そうするとaaaaの係数は₄C₀、bbbbの係数は₄C₄となって、
(a+b)^4＝₄C₀a^4+₄C₁a^3*b+₄C₂a^2b^2+₄C₃a*b^3+₄C₄b^4
としています。
こうすると、なんか数学っぽくなりますね。とさ

この回答へのお礼

例えかたが上手いですね笑　わかりやすいです　回答ありがとうございます！！

お礼日時：2021/03/07 16:40