２直線なす角

原点を通り、直線x－√3y＝0とπ/4の角をなす直線の方程式を求めよ。
という問題で、なぜ|m1－m2/1＋m1m2|を使えないのでしょうか？

No.3 回答者： Naoki_M 回答日時： 2005/02/20 12:09

２直線y=m1x+n1,y=m2x+n2のなす角をθとすると、

tanθ=|(m1 - m2)/(1 ＋ m1 m2)|
となります。この式だけ覚えるのではなく、m1,m2,θがそれぞれ何を意味しているのか、どのようにこの式が導かれたのか、ということを確認しておく必要があります。

まず上の式を使って解いてみます。この問題の場合、問題文で与えられているのはm1とm2ではなく、m1とθです。m1,θがわかっていてm2を求めたいので、＃２さんの回答の通りに計算すれば、|(m1 - m2)/(1 ＋ m1 m2)|を使えます。

一方、＃１さんのようにm1,m2を決めれば、tangentの加法定理から求めたい直線の傾き(m1+m2)/(1-m1m2), (m1-m2)/(1+m1m2)を計算できます。なぜこのような式になるのかわからなければ、図を書いてみてください。x軸の正の方向と直線y=m1xのなす角（反時計回りを＋）をφとすれば、tanφ=m1となります。x軸の正の方向と求めたい直線のなす角はφ±π/4ですから、求めたい直線の傾きはtan(φ±π/4)となります。これはtangentの加法定理を使えば求められます。

＃１の補足で質問されていますが、質問者さんは＃１さんのアドバイスをきちんと読みましたか？m1,m2について＃１さんの解釈でよければ一言そのように書くべきですし、違うのであればm1,m2とは何かをきちんと補足するべきです。細かいことですが、回答する側から見てとても気になりました。次から気をつけていただけると、お互いのためになると思います。＃１さんのおっしゃる通り、社会に出てからも必要なことだと思います。

No.2 回答者： shkwta 回答日時： 2005/02/19 14:32

使えるはずですが、なにか問題に条件でもあるのでしょうか？

直線x－√3y＝0の傾きをm1とすると、x軸がなす角をαとして m1 = 1/(√3) = tanα です。
直線x－√3y＝0とπ/4の角をなす直線の傾きをm2とすると、tanの加法定理により
|(m1 - m2)/(1 ＋ m1 m2)|＝tan(π/4)＝1

したがって、
(m1 - m2)/(1 + m1 m2)＝±1
これを解けばm2の2つの解が求められます。

No.1 回答者： kony0 回答日時： 2005/02/19 14:15

元の直線の傾きをm1, なす角のtangentの値をm2としたときの求める２直線の傾きは、

(m1+m2)/(1-m1m2), (m1-m2)/(1+m1m2)
であって、
±{(m1+m2)/(1-m1m2)}
ではない理由を質問されているのでしょうか？

であれば、30度の傾きを持つ直線に対して45度の角をなす２つの直線が、互いに水平軸対称の関係にないからです。

ちなみに、求める直線の傾きの式は、単なる「tangentの加法定理」です。

最後に・・・質問文は、圧倒的に「言葉足らず」です。特に下記の説明が欠如しています。
・m1, m2とは何か？
・|m1－m2/1＋m1m2|とは何か？
質問の問題を解けるようになることも大事ですが、質問・議論をする際に、何を説明・記述・言及することで自分のイイタイコトが相手に伝わるか（自分のペースに巻き込めるか）を意識することは、すべての教科の学習・また社会に出てからも必要なことだと思います。
数学の論述は、その辺りの技量を10代のうちに学習する、いちばん身近な材料と思います。「マーク試験しか受けないから」という場合でも「答え出ればいいやん」と思わずに、是非論述に意識を置いていただきたいと思います。

この回答への補足

すいません。
とても一般的な問題だと思い、省略しました。
|m1－m2/1＋m1m2|でなくてなんで、(m1+m2)/(1-m1m2), (m1-m2)/(1+m1m2)や±{(m1+m2)/(1-m1m2)}のようなものがでてくるのでしょう？

補足日時：2005/02/19 20:05