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こんばんわ。連続で質問して申し訳ないです>_<、
問)円x^2+y^2=9 ---(2)と円(x-a)^2+(y-b)^2=4 ----(1)の2つの共有点を通る直線の方程式が、6x+2y-15=0となるような(a,b)を求めよ。
解答)2つの円の共有点をA,Bとする。A,Bの座標は、(1)と(2)をともに満たす。x、yであるから、
(2)-(1)、つまり 2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0 -----(3)
も満たす。これは直線を表すから、直線ABに他ならない。
これが、 6x+2y-15=0 ---------(4)
と一致するための条件は、
2a:2b:(a^2+b^2+5)=6:2:15
2a:2b=6:2よりa=3b
2b:(a^2+b^2+5)=2:15より
2b^2-3b+1=0
∴(b-1)2b-1)=0
b=1 , 1/2
(a,b)=(3,1),(3/2 , 1/2)
疑問)
この問題の、2直線の比較についてですが、
2a=6
2b=2
-(a^2+b^2+5)=-15
として、a=3,b=1とするのは何故ダメなのでしょうか?
参考書の説明では、
「px+qy+r=0と、p`x+q`y+r`=0が表す直線が一致する条件は、p:q:r=p`:q`:r`である」
とあるのですが、今までずっと教わってきた係数比較ではダメなのでしょうか?
どうかよろしくお願いします
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>2つの円の共有点をA,Bとする。
A,Bの座標は、(1)と(2)をともに満たす。>x、yであるから、(2)-(1)、つまり 2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0 -----(3)
>も満たす。これは直線を表すから、直線ABに他ならない。
説明がはしょられすぎていて非常に悪い解答です。私が採点者なら大減点。
>この問題の、2直線の比較についてですが、
>...
>として、a=3,b=1とするのは何故ダメなのでしょうか?
例えば
x + y + 1 = 0 と
2x + 2y + 2 = 0
は「同じ」直線でしょう?
ありがとうございます
確かに言われてみればそうですね!
係数比較では、
x+y+1=0と
2x+2y+2=0
の違いのようなものがあるために、それぞれの項の比で計算するのですね。
ありがとうございました!
No.4
- 回答日時:
>2つの円の共有点をA,Bとする。
A,Bの座標は、(1)と(2)をともに満たす。x、yであるから、(2)-(1)、つまり 2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0 -----(3)も満たす。これは直線を表すから、直線ABに他ならない。解答のこの部分も結構いい加減ですね。
>>(3)より、a=3b、and、b=(a^2+5+b^2)/15であるから、連立して解くと (a、b)=(3、1)、(3/2、1/2)。
(a、b)=(3、1)の時、6x+2y-15=0.
(a、b)=(3/2、1/2)の時、2*(6x+2y-15)=0.
わざわざ補足して頂いてすみません。
今まで未知の式と気軽に係数比較をして、問題を解いていたのですが(色々な参考書の解答でたくさん使っていました)、もう怖くて使えないですね・・・
これからは、こまめに係数比較を使って解くように頑張ります。
No.3
- 回答日時:
>「px+qy+r=0と、p`x+q`y+r`=0が表す直線が一致する条件は、p:q:r=p`:q`:r`である」とあるのですが、今までずっと教わってきた係数比較ではダメなのでしょうか?
駄目です。
(1)と(2)を通る曲線は、m、nを0以外の定数として、m{x^2+y^2-9}+n{(x-a)^2+(y-b)^2-4}=0で表せる。
これを整理すると、(m+n)x^2+(m+n)y^2-2anx+2bny+(na^2-9m+nb^2-4n)=0.‥‥(1)
これが、直線を表すからm+n=0. この時、m≠0より (1)は2ax+2by-(a^2+5+b^2)=0.‥‥(2)
これが、直線:6x+2y-15=0と一致するから、各々の係数が比例すれば良い。
即ち、2a/6=2b/2=(a^2+5+b^2)/15.‥‥(3)
(3)より、a=3b、and、b=(a^2+5+b^2)/15であるから、連立して解くと (a、b)=(3、1)、(3/2、1/2)。
takaさま、お返事ありがとうございます!
係数比較ではだめなのですね・・・
変数を含む係数の式と、係数の固定された式の比較は、
各々の係数が比例しなければならないから、
まさに、x+2y+1=0と2x+4y+2=0の世界なのですね。
No.2
- 回答日時:
回答申し上げます。
#1さんのご回答こそ、この疑問に対する回答の本質だと思いますのでまずは#1さんのお書きになられたことをよくご理解ください。
そのうえで、
>今までずっと教わってきた係数比較ではダメなのでしょうか?
という疑問についてお答えしたいと思います。
2ax+2by-(a^2+b^2+5)=0…(3式)と
6x+2y-15=0…(4式)の係数比較は可能といえば可能です。
ただし、先ほどの#1さんのおっしゃっていることを理解しないと
解答を誤ってしまう可能性があるのでご注意下さい。
まず、(3式)についてですが、こちらはaやbによっていくらでも
直線の式を変えられますが、
(4式)については変数がないため(3式)と同じ式になるかの比較はこのままでは出来ません。(理由は#1さんのご発言にあります。)
ですので、(4式)については両辺にkをかけて
6kx+2ky-15k=0 とします。これで(3式)と同じ式になるかの比較の準備は整いました。
これで係数比較をしてみると、
2a=6k
2b=2k
-(a^2+b^2+5)=-15k …(5式)
となりますから、
a=3k 、b=k となり、これを(5式)に代入して
-((3k)^2+k^2+5)=-15k
つまり 10k^2-5k+5=0
⇔5(k-1)(2k-1)=0
ですから、 k=1、1/2 となります。
よって、(a,b)=(3,1),(3/2 , 1/2) となるわけです。
実際にこれをちゃんと説明しようとすると
>「px+qy+r=0と、p`x+q`y+r`=0が表す直線が一致する条件は、p:q:r=p`:q`:r`である」
と同じことを言っていることになりますから、
ご質問者さまの
>今までずっと教わってきた係数比較ではダメなのでしょうか?
についての質問の答えとしては、
p:q:r=p`:q`:r` とすることも係数比較と同じことを意味しています
と言えるのではないでしょうか。→つまり係数比較でも解けますということになりますね。
ご参考になればと思います。
わかりやすい説明、どうもありがとうございます
(3)と(4)がこのままでは係数比較をすることができないのは、
「比較した時、a,bなど自由に動く(3)式の係数(文字が)が、(4)式の固定された各係数の倍数へと動いてしまって比べられない」
と言う理解でよろしいでしょうか?
(4)式にkを掛けるのは、自由に動くa,bと自由に動くkを比較することで、(3)式と(4)式の『係数の比』を求めたのですね。
まだいまいち頭の整理がついていないかもしれないので、もう少しじっくり考えてみます。
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