4組の夫婦Aとa,Bとb,Cとc,Dとdが円形に並ぶ。 Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦は、夫婦同

4組の夫婦Aとa,Bとb,Cとc,Dとdが円形に並ぶ。 Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦は、夫婦同士がとなり合わない並び方は何通りあるか？

この問題の解説お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/18 12:30

[1] 4組の夫婦が隣合っても隣合わなくてもいい並びかたは、

（8-1）！ 通り。

[2] Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦が皆隣合う並びかたは。
(5-1)！ × (2^3) 通り。

[3] Aとa,Bとbの2組が隣合う並びかたは、
(6-1)！ × (2^2) 通り。
これには [2] の場合も含んでいるので、
Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦のうち Aとa,Bとbの2組がだけが隣合う並びかたは、
(6-1)！ × (2^2) - (5-1)！ × (2^3) 通り。
Bとb,Cとcの２組、Aとa,Cとcの2組が隣合う場合も同様。

[4] Aとaが隣合う並びかたは、
(７-1)！ × (2^1) 通り。
これには [3] の場合も含んでいるので、
Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦のうち Aとaの１組がだけが隣合う並びかたは、
(７-1)！ × (2^1) - { (6-1)！ × (2^2) - (5-1)！ × (2^3) }×2 通り。
Bとb、Cとcが隣合う場合も同様。

以上より、
Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦がどれも隣合わない並びかたは、
[1] - [2] - [3]×(3C2) - [4]×(3C1)
= 7！ - (4！×8) - (5！×4 - 4！×8)×3 - { 6！×2 - (5！×4 - 4！×8)×2 }×3
= 7！ - (4！×8)×4 + (5！×4)×3 - (6！×2)×3
= ...

ここから先の式整理は、めんどなんで自分でよろしく。
もっと冴えた解法が他にあるような気はするけど。

No.1 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2021/04/18 07:51

隣り合わない並び方＝全ての並び方-隣り合う並び方

この場合、全ての並び方、は8人の円順列として求められます。
隣り合う並び方は、隣り合う夫婦、Aa、Bb、Ccを二人一組として考えればよいでしょう。ただ、それぞれの組み合わせの中での順列(例えば、AaなのかaAなのかの違い)を忘れないようにします。この場合、5人（3組と残り2人）の円順列×（2人の順列）³で求められるでしょう。