不等式について。

引用開始
以下の条件を満たす実数αを求めよ。
条件：
任意の自然数nに対して、ある整数kが存在して、
|α - k/n|≦1/(3n)
が成り立つ。 この問題をご教授いただけないでしょうか？すみません。
で、
(n,k)の組は(2,1)があります。|α-k/n|<=1/3nがα=1/2でn=2のときです。
　|1/2-k/2|<=1/6
　0<1/2-k/2<=1/6
　0<k/2-1/2<=1/6
　2/3<=k<=4/3
となるような整数k=1があります。α=1/2は条件を満たします。指摘は誤りです。
で、|1/2-k/2|<=1/6
　0<1/2-k/2<=1/6
　0<k/2-1/2<=1/6
　2/3<=k<=4/3
の所で、 2行目の式と3行目の式マイナスを掛けていますよね？
引用終了
で、これは、間違いだと思うのですが？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/30 11:08

「

必要条件として ｜(3^(d+1))α - 3k｜≦1 が出てくる。
この式は、(3^(d+1))α の整数部分を 3 で割った余りが
0 または 2 であることを示している。
」
の部分で
α=1/3
d=0
とすると
(3^(d+1))α=1
だから
｜(3^(d+1))α - 3k｜=|1-3k|≦1
を満たすkはk=0
だから

(3^(d+1))α=1 の整数部分を 3 で割った余りは

1

であるから
「
この式は、(3^(d+1))α の整数部分を 3 で割った余りが
0 または 2 であることを示している
」
は間違いです
なので
間違った回答をわかる必要はありません
---------------------------------
任意の自然数nに対して
|α-k/n|≦1/(3n)となる整数kがあるとする
↓両辺にnをかけると
|nα-k|≦1/3

0≦nα-kの時
nα-k≦1/3
↓両辺にk-1/3を加えると
nα-1/3≦k

nα-k<0の時
k-nα≦1/3
↓両辺にnαを加えると
k≦nα+1/3
kは整数で[nα+1/3]=(nα+1/3以下の最大整数)だから
k≦[nα+1/3]
↓これとnα-1/3≦kから

nα-1/3≦[nα+1/3]…(1)

[α+1/2]=(α+1/2以下の最大整数)
x=α-[α+1/2]
とすると
[α+1/2]≦α+1/2<[α+1/2]+1
-1/2≦α-[α+1/2]<1/2
-1/2≦x<1/2
α=x+[α+1/2]
だからこれを(1)に代入すると
n(x+[α+1/2])-1/3≦[nα+1/3]≦n(x+[α+1/2])+1/3
nx+n[α+1/2]-1/3≦[nα+1/3]≦nx+n[α+1/2]+1/3
nx-1/3≦[nα+1/3]-n[α+1/2]≦nx+1/3
だから
[nα+1/3]-n[α+1/2]≦[nx+1/3]
だから

nx-1/3≦[nx+1/3]…(2)


n=1の時(2)から
x-1/3≦[x+1/3]≦x+1/3
-1/2≦x<1/2だから
-1/2-1/3≦x-1/3≦[x+1/3]≦x+1/3<1/2+1/3
-5/6≦[x+1/3]<5/6
↓[x+1/3]は整数だから
[x+1/3]=0
x≦1/3≦x+2/3
-1/3≦x≦1/3

n=2の時(2)から
2x-1/3≦[2x+1/3]≦2x+1/3
↓-1/3≦x≦1/3だから
-2/3-1/3≦2x-1/3≦[2x+1/3]≦2x+1/3≦2/3+1/3
-1≦[2x+1/3]≦1

[2x+1/3]=-1
または
[2x+1/3]=0
または
[2x+1/3]=1

[2x+1/3]=-1の時
2x-1/3≦-1≦2x+1/3
-1-1/3≦2x≦-1+1/3
-4/3≦2x≦-2/3
-2/3≦x≦-1/3
↓-1/3≦xだから
x=-1/3

[2x+1/3]=1の時
2x-1/3≦1≦2x+1/3
1-1/3≦2x≦1+1/3
2/3≦2x≦4/3
1/3≦x≦2/3
↓x≦1/3だから
x=1/3

[2x+1/3]=0の時
2x-1/3≦0≦2x+1/3
-1/3≦2x≦1/3
-1/6≦x≦1/6
|x|≦1/6
だから
P(n)={|x|≦1/(3n)}
とすると
P(2)={|x|≦1/6}は真
ある自然数n≧2に対してP(n)は真と仮定すると
|x|≦1/(3n)
-1/(3n)≦x≦1/(3n)
(2)のnをn+1に置き換えると
(n+1)x-1/3≦[(n+1)x+1/3]≦(n+1)x+1/3…(3)
↓-1/(3n)≦x≦1/(3n)だから
-(n+1)/(3n)-1/3≦[(n+1)x+1/3]≦(n+1)/(3n)+1/3
-1<-1+(n-1)/(3n)≦[(n+1)x+1/3]≦1-(n-1)/(3n)<1
-1<[(n+1)x+1/3]<1
↓[(n+1)x+1/3]は整数だから
[(n+1)x+1/3]=0
↓これを(3)に代入すると
(n+1)x-1/3≦0≦(n+1)x+1/3
-1/3≦(n+1)x≦1/3
-1/{3(n+1)}≦x≦1/{3(n+1)}
|x|≦1/{3(n+1)}
だから
P(n+1)={|x|≦1/{3(n+1)}}も真だから
全ての自然数n≧2に対して
|x|≦1/(3n)
だから
x=0

x=-1/3.or.x=0.or.x=1/3
だから
3x=-1.or.3x=0.or.3x=1

↓3α=3x+3[α+1/2]だから

3α=3[α+1/2]-1
.or.
3α=3[α+1/2]
.or.
3α=3[α+1/2]+1

∴
3αは整数である

3αが整数ならば
3α=mとなる整数mがある

任意の自然数nに対して
k=[nα+1/3]
とすると
k=[(3αn+1)/3]
↓3α=mだから
k=[(mn+1)/3]

mn+1を3で割った余りをjとすると
mn+1=3k+j
0≦j≦2
-1≦j-1≦1
|j-1|≦1

|α-k/n|
=|m/3-k/n|
=|(mn-3k)/(3n)|
=|j-1|/(3n)
≦1/(3n)

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/30 05:47

では

「
x=(3^(d+1))α の α, x を 3進小数で書けば、
」
というのはどういう事か
「
3進小数
」
とは何かわかるのですか?
それを書いた人に質問してください
---------------------------------------------
任意の自然数nに対して
|α-k/n|≦1/(3n)となる整数kがあるとする
↓両辺にnをかけると
|nα-k|≦1/3

0≦nα-kの時
nα-k≦1/3
↓両辺にk-1/3を加えると
nα-1/3≦k

nα-k<0の時
k-nα≦1/3
↓両辺にnαを加えると
k≦nα+1/3
kは整数で[nα+1/3]=(nα+1/3以下の最大整数)だから
k≦[nα+1/3]
↓これとnα-1/3≦kから

nα-1/3≦[nα+1/3]…(1)

[α+1/2]=(α+1/2以下の最大整数)
x=α-[α+1/2]
とすると
[α+1/2]≦α+1/2<[α+1/2]+1
-1/2≦α-[α+1/2]<1/2
-1/2≦x<1/2
α=x+[α+1/2]
だからこれを(1)に代入すると
n(x+[α+1/2])-1/3≦[nα+1/3]≦n(x+[α+1/2])+1/3
nx+n[α+1/2]-1/3≦[nα+1/3]≦nx+n[α+1/2]+1/3
nx-1/3≦[nα+1/3]-n[α+1/2]≦nx+1/3
だから
[nα+1/3]-n[α+1/2]≦[nx+1/3]
だから

nx-1/3≦[nx+1/3]…(2)


n=1の時(2)から
x-1/3≦[x+1/3]≦x+1/3
-1/2≦x<1/2だから
-1/2-1/3≦x-1/3≦[x+1/3]≦x+1/3<1/2+1/3
-5/6≦[x+1/3]<5/6
↓[x+1/3]は整数だから
[x+1/3]=0
x≦1/3≦x+2/3
-1/3≦x≦1/3

n=2の時(2)から
2x-1/3≦[2x+1/3]≦2x+1/3
↓-1/3≦x≦1/3だから
-2/3-1/3≦2x-1/3≦[2x+1/3]≦2x+1/3≦2/3+1/3
-1≦[2x+1/3]≦1

[2x+1/3]=-1
または
[2x+1/3]=0
または
[2x+1/3]=1

[2x+1/3]=-1の時
2x-1/3≦-1≦2x+1/3
-1-1/3≦2x≦-1+1/3
-4/3≦2x≦-2/3
-2/3≦x≦-1/3
↓-1/3≦xだから
x=-1/3

[2x+1/3]=1の時
2x-1/3≦1≦2x+1/3
1-1/3≦2x≦1+1/3
2/3≦2x≦4/3
1/3≦x≦2/3
↓x≦1/3だから
x=1/3

[2x+1/3]=0の時
2x-1/3≦0≦2x+1/3
-1/3≦2x≦1/3
-1/6≦x≦1/6
|x|≦1/6
だから
P(n)={|x|≦1/(3n)}
とすると
P(2)={|x|≦1/6}は真
ある自然数n≧2に対してP(n)は真と仮定すると
|x|≦1/(3n)
-1/(3n)≦x≦1/(3n)
(2)のnをn+1に置き換えると
(n+1)x-1/3≦[(n+1)x+1/3]≦(n+1)x+1/3…(3)
↓-1/(3n)≦x≦1/(3n)だから
-(n+1)/(3n)-1/3≦[(n+1)x+1/3]≦(n+1)/(3n)+1/3
-1<-1+(n-1)/(3n)≦[(n+1)x+1/3]≦1-(n-1)/(3n)<1
-1<[(n+1)x+1/3]<1
↓[(n+1)x+1/3]は整数だから
[(n+1)x+1/3]=0
↓これを(3)に代入すると
(n+1)x-1/3≦0≦(n+1)x+1/3
-1/3≦(n+1)x≦1/3
-1/{3(n+1)}≦x≦1/{3(n+1)}
|x|≦1/{3(n+1)}
だから
P(n+1)={|x|≦1/{3(n+1)}}も真だから
全ての自然数n≧2に対して
|x|≦1/(3n)
だから
x=0

x=-1/3.or.x=0.or.x=1/3
だから
3x=-1.or.3x=0.or.3x=1

↓3α=3x+3[α+1/2]だから

3α=3[α+1/2]-1
.or.
3α=3[α+1/2]
.or.
3α=3[α+1/2]+1

∴
3αは整数である

3αが整数ならば
3α=mとなる整数mがある

任意の自然数nに対して
k=[nα+1/3]
とすると
k=[(3αn+1)/3]
↓3α=mだから
k=[(mn+1)/3]

mn+1を3で割った余りをjとすると
mn+1=3k+j
0≦j≦2
-1≦j-1≦1
|j-1|≦1

|α-k/n|
=|m/3-k/n|
=|(mn-3k)/(3n)|
=|j-1|/(3n)
≦1/(3n)

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/30 03:51

すべての自然数nに対して

|α-k/n|≦1/(3n)
となる整数kがある
ような
|α|≦1/2
を求めるために

数学的帰納法を使うために
n=1に対して
|α-k/n|≦1/(3n)
となる整数kがある
ような
αを
求め
|α|≦1/3

n=2に対して
|α-k/n|≦1/(3n)
となる整数kがある
ような
αを
求め
α=1/3
α=-1/3

|α|≦1/6
の場合
n≧3に対しては数学的帰納法を使って
ある自然数nに対して
|α|≦1/(3n)
が成り立つならば
|α|≦1/{3(n+1)}
が成り立つことを証明するのです
-------------------------------------
|α|≦1/2
とする
-1/2≦α≦1/2

任意の自然数nに対して
|α-k/n|≦1/(3n)…(n)
となる整数kがあるとする

(n)でn=1の時
|α-k|≦1/3…(1)
となる整数kがあるから
α-1/3≦k≦α+1/3
↓-1/2≦α≦1/2だから
-5/6≦-1/2-1/3≦α-1/3≦k≦α+1/3≦1/2+1/3=5/6
-5/6≦k≦5/6
↓kは整数だから
k=0
↓これを(1)に代入すると
|α|≦1/3
-1/3≦α≦1/3

(n)でn=2の時
|α-k/2|≦1/6…(2)
となる整数kがあるから
2α-1/3≦k≦2α+1/3
↓-1/3≦α≦1/3だから
-1=-2/3-1/3≦2α-1/3≦k≦2α+1/3≦2/3+1/3=1
-1≦k≦1
↓kは整数だから
k=-1またはk=0またはk=1

k=-1の時
↓これを(2)に代入すると
|α+1/2|≦1/6
-2/3=-1/2-1/6≦α≦1/6-1/2=-1/3
-2/3≦α≦-1/3
↓-1/3≦αだから
α=-1/3…(3)

k=1の時
↓これを(2)に代入すると
|α-1/2|≦1/6
1/3=1/2-1/6≦α≦1/6+1/2=2/3
1/3≦α≦2/3
↓α≦1/3だから
α=1/3…(4)

k=0の時
↓これを(2)に代入すると
|α|≦1/6

P(n)={|α|≦1/(3n)}
とすると
P(2)={|α|≦1/6}は真

ある自然数n≧2に対してP(n)が真と仮定すると
|α|≦1/(3n)
-1/(3n)≦α≦1/(3n)

|α-k/(n+1)|≦1/{3(n+1)}…①
となる整数kがあるから

α-1/{3(n+1)}≦k/(n+1)≦α+1/{3(n+1)}
(n+1)α-1/3≦k≦(n+1)α+1/3
↓-1/(3n)≦α≦1/(3n)だから
-(n+1)/(3n)-1/3≦k≦(n+1)/(3n)+1/3
-2/3-1/(3n)≦k≦2/3+1/(3n)
-1+1/3-1/(3n)≦k≦1-1/3+1/(3n)
-1+(n-1)/(3n)≦k≦1-(n-1)/(3n)
↓n≧2だから(n-1)/(3n)>0だから
-1<-1+(n-1)/(3n)≦k≦1-(n-1)/(3n)<1
-1<k<1
↓kは整数だから
k=0
↓これを①に代入すると
|α|≦1/{3(n+1)}
だから
P(n+1)={|α|≦1/{3(n+1)}}も真となるから
全ての自然数nに対して
|α|≦1/(3n)
が成り立つ
が
α≠0と仮定すると
n>1/|3α|となる自然数nが存在するから
|α|>1/(3n)
となって
|α|≦1/(3n)
に矛盾するから
∴
α=0

↓これと(3),(4)から

|α|≦1/2ならば

α=0またはα=±1/3
となります

この回答へのお礼

すみません。これについてもお願いできないでしょうか？
x は α の小数点を d+1 桁右へ移動したものであり、
その整数部分を 3で割った余りは α の小数第 d+1 位の値です。
のところが分かりません。
以下のURLです。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12326844.html
ご教授いただけないでしょうか？

お礼日時：2021/04/30 05:33

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/29 21:05

すべての自然数nに対して調べたいので

n=1から順番に
1,2,…
と調べるのです
ところが
n=1の所で|α|≦1/3
n=2の所で
α=1/3
α=-1/3
|α|≦1/6
の3通りしかない事が分かってしまったのです
-------------------------------------
|α|≦1/2
とする
-1/2≦α≦1/2

任意の自然数nに対して
|α-k/n|≦1/(3n)…(n)
となる整数kがあるとする

(n)でn=1の時
|α-k|≦1/3…(1)
となる整数kがあるから
α-1/3≦k≦α+1/3
↓-1/2≦α≦1/2だから
-5/6≦-1/2-1/3≦α-1/3≦k≦α+1/3≦1/2+1/3=5/6
-5/6≦k≦5/6
↓kは整数だから
k=0
↓これを(1)に代入すると
|α|≦1/3
-1/3≦α≦1/3

(n)でn=2の時
|α-k/2|≦1/6…(2)
となる整数kがあるから
2α-1/3≦k≦2α+1/3
↓-1/3≦α≦1/3だから
-1=-2/3-1/3≦2α-1/3≦k≦2α+1/3≦2/3+1/3=1
-1≦k≦1
↓kは整数だから
k=-1またはk=0またはk=1

k=-1の時
↓これを(2)に代入すると
|α+1/2|≦1/6
-2/3=-1/2-1/6≦α≦1/6-1/2=-1/3
-2/3≦α≦-1/3
↓-1/3≦αだから
α=-1/3…(3)

k=1の時
↓これを(2)に代入すると
|α-1/2|≦1/6
1/3=1/2-1/6≦α≦1/6+1/2=2/3
1/3≦α≦2/3
↓α≦1/3だから
α=1/3…(4)

k=0の時
↓これを(2)に代入すると
|α|≦1/6

P(n)={|α|≦1/(3n)}
とすると
P(2)={|α|≦1/6}は真

ある自然数n≧2に対してP(n)が真と仮定すると
|α|≦1/(3n)
-1/(3n)≦α≦1/(3n)

|α-k/(n+1)|≦1/{3(n+1)}…①
となる整数kがあるから

α-1/{3(n+1)}≦k/(n+1)≦α+1/{3(n+1)}
(n+1)α-1/3≦k≦(n+1)α+1/3
↓-1/(3n)≦α≦1/(3n)だから
-(n+1)/(3n)-1/3≦k≦(n+1)/(3n)+1/3
-2/3-1/(3n)≦k≦2/3+1/(3n)
-1+1/3-1/(3n)≦k≦1-1/3+1/(3n)
-1+(n-1)/(3n)≦k≦1-(n-1)/(3n)
↓n≧2だから(n-1)/(3n)>0だから
-1<-1+(n-1)/(3n)≦k≦1-(n-1)/(3n)<1
-1<k<1
↓kは整数だから
k=0
↓これを①に代入すると
|α|≦1/{3(n+1)}
だから
P(n+1)={|α|≦1/{3(n+1)}}も真となるから
全ての自然数nに対して
|α|≦1/(3n)
が成り立つ
が
α≠0と仮定すると
n>1/|3α|となる自然数nが存在するから
|α|>1/(3n)
となって
|α|≦1/(3n)
に矛盾するから
∴
α=0

↓これと(3),(4)から

|α|≦1/2ならば

α=0またはα=±1/3
となります

この回答へのお礼

n＝1,2 を調べたのはなぜでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/29 22:32

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/29 19:33

|α|≦1/2

とする
-1/2≦α≦1/2

任意の自然数nに対して
|α-k/n|≦1/(3n)…(n)
となる整数kがあるとする

(n)でn=1の時
|α-k|≦1/3…(1)
となる整数kがあるから
α-1/3≦k≦α+1/3
↓-1/2≦α≦1/2だから
-5/6≦-1/2-1/3≦α-1/3≦k≦α+1/3≦1/2+1/3=5/6
-5/6≦k≦5/6
↓kは整数だから
k=0
↓これを(1)に代入すると
|α|≦1/3
-1/3≦α≦1/3

(n)でn=2の時
|α-k/2|≦1/6…(2)
となる整数kがあるから
2α-1/3≦k≦2α+1/3
↓-1/3≦α≦1/3だから
-1=-2/3-1/3≦2α-1/3≦k≦2α+1/3≦2/3+1/3=1
-1≦k≦1
↓kは整数だから
k=-1またはk=0またはk=1

k=-1の時
↓これを(2)に代入すると
|α+1/2|≦1/6
-2/3=-1/2-1/6≦α≦1/6-1/2=-1/3
-2/3≦α≦-1/3
↓-1/3≦αだから
α=-1/3…(3)

k=1の時
↓これを(2)に代入すると
|α-1/2|≦1/6
1/3=1/2-1/6≦α≦1/6+1/2=2/3
1/3≦α≦2/3
↓α≦1/3だから
α=1/3…(4)

k=0の時
↓これを(2)に代入すると
|α|≦1/6

P(n)={|α|≦1/(3n)}
とすると
P(2)={|α|≦1/6}は真

ある自然数n≧2に対してP(n)が真と仮定すると
|α|≦1/(3n)
-1/(3n)≦α≦1/(3n)

|α-k/(n+1)|≦1/{3(n+1)}…①
となる整数kがあるから

α-1/{3(n+1)}≦k/(n+1)≦α+1/{3(n+1)}
(n+1)α-1/3≦k≦(n+1)α+1/3
↓-1/(3n)≦α≦1/(3n)だから
-(n+1)/(3n)-1/3≦k≦(n+1)/(3n)+1/3
-2/3-1/(3n)≦k≦2/3+1/(3n)
-1+1/3-1/(3n)≦k≦1-1/3+1/(3n)
-1+(n-1)/(3n)≦k≦1-(n-1)/(3n)
↓n≧2だから(n-1)/(3n)>0だから
-1<-1+(n-1)/(3n)≦k≦1-(n-1)/(3n)<1
-1<k<1
↓kは整数だから
k=0
↓これを①に代入すると
|α|≦1/{3(n+1)}
だから
P(n+1)={|α|≦1/{3(n+1)}}も真となるから
全ての自然数nに対して
|α|≦1/(3n)
が成り立つ
が
α≠0と仮定すると
n>1/|3α|となる自然数nが存在するから
|α|>1/(3n)
となって
|α|≦1/(3n)
に矛盾するから
∴
α=0

↓これと(3),(4)から

|α|≦1/2ならば

α=0またはα=±1/3
となります

この回答へのお礼

なぜ、n＝ 1,2 の時を調べているのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/29 20:13

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/29 15:54

1/∞=0

-1/∞=0
です

|α|≦1/6
とする
P(n)={|α|≦1/(3n)}
とすると
P(2)={|α|≦1/6}は真

ある自然数n≧2に対してP(n)が真と仮定すると
|α|≦1/(3n)
-1/(3n)≦α≦1/(3n)

|α-k/(n+1)|≦1/{3(n+1)}…①
となる整数kがあるから

α-1/{3(n+1)}≦k/(n+1)≦α+1/{3(n+1)}
(n+1)α-1/3≦k≦(n+1)α+1/3
↓-1/(3n)≦α≦1/(3n)だから
-(n+1)/(3n)-1/3≦k≦(n+1)/(3n)+1/3
-2/3-1/(3n)≦k≦2/3+1/(3n)
-1+1/3-1/(3n)≦k≦1-1/3+1/(3n)
-1+(n-1)/(3n)≦k≦1-(n-1)/(3n)
↓n≧2だから(n-1)/(3n)>0だから
-1<-1+(n-1)/(3n)≦k≦1-(n-1)/(3n)<1
-1<k<1
↓kは整数だから
k=0
↓これを①に代入すると
|α|≦1/{3(n+1)}
だから
P(n+1)={|α|≦1/{3(n+1)}}も真となるから
全ての自然数nに対して
|α|≦1/(3n)
が成り立つ
が
α≠0と仮定すると
n>1/|3α|となる自然数nが存在するから
|α|>1/(3n)
となって
|α|≦1/(3n)
に矛盾するから
∴
α=0

|α|≦1/6
ならば
α=0
となります

この回答へのお礼

すみません。
1/∞=0
-1/∞=0
です
と、なぜ、n＝1 からでないのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/29 18:09

No.6 回答者： r_umaniamnvi_the_5th 回答日時： 2021/04/29 05:12

No.6=4です。

　私のNo.4が誤りです。ごめんなさい。
　寅二さんの『不等式について。』https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12326844.htmlのNo.2は正しいです。指摘ありがとうございます。素敵滅法です。
α=1/3の場合
n=10000のとき
|1/3-k/10000|<=1/30000
0<1/3-k/10000<=1/30000
0<k/10000-1/3<=1/30000
3333<=k<=10001/3
となるような整数k=3333があります。
|α-3333/10000|<=1/30000
α-3333/10000<=1/30000
α<=10000/30000=1/3
-(α-(3333/10000))<=1/30000
-α+3333/10000<=30000
-α<=(-9999+1)/30000
9998/30000<=α
9998/30000<=α<=1/3
右端が引っかかってα=1/3は条件を満たします。
α=2/3の場合
n=10000のとき
|2/3-k/10000|<=1/30000
0<2/3-k/10000<=1/30000
0<k/10000-2/3<=1/30000
19999/3<=k<=20001/3
となるような整数k=6667があります。α=2/3は条件を満たします。全部のnで左か右の端っこで引っかかるか真ん中が当たるかのいずれかで割り切れない整数/3を幅なく覆います。『不等式について。』https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12326844.htmlのNo.3さんも指摘ありがとうございます。
　k=0とします。|α-0|<=1/(3n)です。全部のnで真ん中で覆います。nを∞にします。-1/∞<=α<=1/∞です。どんなに頑張っても1/∞と-1/∞は有理数です。0の左右に有理数ではない数が1個づつあって0と-1/(3n)と1/(3n)と合わせて合計5個のαを満たす数がありませんか?同様にk/nが整数のときも全部のnで真ん中で覆います。整数と整数-1/(3n)と整数+1/(3n)と各々の間に2個の有理数じゃない数の合計5個のαを満たす数がありませんか?

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/25 19:25

No.4さんの質問にはNo.14で

3αは整数である
3αが整数ならば
α=m/3となる整数mがある

任意の自然数nに対して
k=[(mn+1)/3]=(mn+1を3で割った商)
とする
mn+1を3で割った余りをjとすると
mn+1=3k+j
0≦j≦2
-1≦j-1≦1
|j-1|≦1

|α-k/n|
=|m/3-k/n|
=|(mn-3k)/(3n)|
=|j-1|/(3n)
≦1/(3n)

とすでに答えています

No.4 回答者： r_umaniamnvi_the_5th 回答日時： 2021/04/21 05:30

おはようございます。

　素晴らしいです。No.1さんとNo.2さん指摘ありがとうございます。1個覆う(n,k)があればよいは誤りです。私のαの条件の読みが誤っていました。『不等式について。』https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12293047.htmlの私のNo.15と17が誤りです。質問者さんNo.1さんごめんなさい。No.1さんのNo.16と18の指摘が正しいです。No.2さんも正しいです。
　全部のnで毎回覆うkが見つかる同じ場所を探します。α=0とします。|0-k/n|<=1/3nです。n=1000000のときです。|-k/1000000|<=1/3000000です。0<=1/3000000です。k=0のとき成り立ちます。どんなnを取ってきてもk=0でα=0です。k=nのときも毎回覆う場所が重なります。α=1とします。n=1000000のときです。|1-1000000/1000000|<=1/3000000です。0<=1/3000000です。k=1000000のとき成り立ちます。nとkが1で範囲の真ん中はα=1です。α=0,1のとき成立します。
　実数の中の条件を満たすαは整数です。k=0で有理数でないすんごい0に近い0でないαが満たすでしょうか?おのおのの整数の両隣の有理数でない数も成立するαでしょうか?

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/20 18:25

＞ α=1/2は条件を満たすというのは間違いです

＞ というのは、合っていますでしょうか？

これだから、その質問文では
「これは間違っている」の「これ」が何だか判らない
って書いたでしょう？

引用文には、
a = 1/2 のとき n = 2 に対して k = 1 が件の不等式を満たす
ことが説明してあります。そのこと自体は正しい。

で、そのことが、a = 1/2 のとき任意の n に対して
条件を満たす k が存在することを示しているか？といえば
そんなことは言えない。
実際、n = 3 のとき k が存在しません。
a = 1/2 では、「条件」が成立しないことになります。

あなたは、いったい何が質問したいんですか？