面積分、この計算であっていますか…？

ベクトル場F(x,y, z)=[2xy,2yz,0]の曲面S:r[2sinθcosφ, 2sinθsinφ, 2cosθ]上の面積分を求めよ。
但し、(0≦θ≦π/2 ,0≦φ≦2π)とする
という面積分の問題です。
色々とやり方を調べてなんとか導いてみましたが全然自信がありません。このような計算でどうでしょうか。

私は、曲線についてδr/δθをもとめて(2cosθcosφ, 2cosθsinφ, -2sinθ),またδr/δφを求めて(-2sinθsinφ, 2sinθcosφ, 0),これらの外積をとって
(4 cos(ϕ) sin^2(θ), 4 sin(ϕ) sin^2(θ), 4 cos^2(ϕ) cos(θ) sin(θ) + 4 cos(θ) sin^2(ϕ) sin(θ)),
Fは(8sinθcosθcosφ, 8sinθcosθsinφ, 0),
外積をとった結果とFの内積をとって
32 cos(ϕ) cos(θ) cos(ϕ) sin^3(θ) + 32 cos(θ) sin(ϕ) sin^3(θ) sin(ϕ),
整理して32(sinθ)^3cosθ,
θについて積分した結果が8,
φについて積分して16π
となりました。

質問者からの補足コメント

• 

  『Fは(8sinθcosθcosφ, 8sinθcosθsinφ, 0)』について、
  私は曲面S:r[2sinθcosφ, 2sinθsinφ, 2cosθ]の2sinθcosφをX成分、2sinθsinφをY成分、2cosθをZ成分として、
  F(x,y, z)=[2xy,2yz,0]の例えば2xyは2sinθcosφ＊2cosθ=4sinθcosθcosφと出来るかなと思ったのですが正しくはどのようにすればよかったのでしょうか…？

    補足日時：2021/04/24 01:43

• 大変申し訳ありません…誤りがありました。
  F(x,y, z)=[2xy,2yz,0]としている部分は全てF(x,y, z)=[2xz,2yz,0]の誤記です。
  コピペで何度も間違えていました。
  2xzの場合でもこの計算はおかしいでしょうか。
  誤りがありましたことお詫び致します。

    補足日時：2021/04/24 03:07

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/04/22 07:47

>Fは(8sinθcosθcosφ, 8sinθcosθsinφ, 0)

これは違うね。x成分が間違っている。8(sinθ)^2*sinφ*cosφだ。
(もしかすると最初のFの表式が間違っているのかな?)

別方法で計算したところ結果も違う。
(F=(2xz,2yz,0)であったとしても違う答えになる)

ちなみに私の計算方法はガウスの定理を用いて体積積分に変換する。
(閉じた面積分にするにはxy平面上の円上の積分も必要だが、これが0になるのはFのz成分が0であることから明らか)

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/22 11:52

１．

N=∂r/∂θ×∂r/∂φ
=<4 cos(ϕ) sin^2(θ), 4 sin(ϕ) sin^2(θ), 4 cos^2(ϕ) cos(θ) sin(θ) + 4 cos(θ) sin^2(ϕ) sin(θ))>
=4<sin²θcosφ, sin²θsinφ, sinθcosθ>

F=8<sin²θsinφcosφ, sinθcosθsinφ, 0> (#1さんの通り)

F・N=32(sin⁴θsinφcos²φ+sin³θcosθsin²φ)
A=∫F・Ndθdφ=32{∫[0,π/2]sin⁴θdθ∫[0,2π]sinφcos²φdφ
　＋∫[0,π/2]sin³θcosθdθ∫[0,2π]sin²φdφ}

(ここで、sinφcos²φは奇関数なので積分は０だから)

A=32∫[0,π/2]sin³θcosθdθ∫[0,2π]sin²φdφ
　=32{[sin⁴θ/4][θ=π/2,0]}{2π/2} (sin²φは半角の公式から)
　=32/4・π=8π

２．
別解、#1さんのようにガウスの定理から
V:Sで作られる半球
S₀: x²+y²=2², z=0とすると
∫[S+S₀]F・ndS=∫[V] divF dv ・・・・①

ところがS₀において、n=<0,0,-1>だから F・n=0 となり①は
∫[S]F・ndS=∫[V] divF dv
となる。

divF=2y+2z=2r(sinθsinφ+cosθ)
dv=r²sinθdrdθdφ
なので

B=∫[V] divF dv
　=2∫[0,2]r³dr { ∫[0,π/2] {∫[0,2π]dφ(sinθsinφ+cosθ)sinθ }}dθ
　=2{[r⁴/4][r=2,0]} { ∫[0,π/2]sin²θdθ ∫[0,2π]sinφdφ
+∫[0,π/2] sinθcosθdθ ∫[0,2π]dφ }
　=２(2⁴/4) { 0+[(sin²θ)/2][θ=π/2,0] 2π }
=2³π=8π

ゆえに
A=B

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/22 15:57

半径２の全球の面積は2×2×4π=16π。

これは半球だから 8πですよね。
なのでどっか間違っているはず。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/24 02:39

補足コメ『Fは(8sinθcosθcosφ, 8sinθcosθsinφ, 0)』について、

私は曲面S:r[2sinθcosφ, 2sinθsinφ, 2cosθ]の2sinθcosφをX成分、2sinθsinφをY成分、2cosθをZ成分として、
F(x,y, z)=[2xy,2yz,0]の例えば2xyは2sinθcosφ＊2cosθ=4sinθcosθcosφと出来るかなと思ったのですが正しくはどのようにすればよかったのでしょうか…？

●F(x,y, z)=[2xy,2yz,0] としておきながら、2xy は 2xz を計算して
おり、下のFは xz になっている。

No.5 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/24 03:41

ひっどい。

おちょくられていないと信じて。

１．
N=∂r/∂θ×∂r/∂φ
=<4 cos(ϕ) sin^2(θ), 4 sin(ϕ) sin^2(θ), 4 cos^2(ϕ) cos(θ) sin(θ) + 4 cos(θ) sin^2(ϕ) sin(θ))>
=4<sin²θcosφ, sin²θsinφ, sinθcosθ>

F=8<sinθcosθcosφ, sinθcosθsinφ, 0>
2sinθcosφ, 2sinθsinφ, 2cosθ

F・N=32(sin³θcosθcos²φ+sin³θcosθsin²φ)=32sin³θcosθ

A=∫F・Ndθdφ=32{∫[0,π/2]sin³θcosθdθ ∫[0,2π]dφ}
　=32{ [sin⁴θ/4][θ=π/2,0] }2π =32{ 1/4 - 0 }2π
　=16π

２．
別解、#1さんのようにガウスの定理から
V:Sで作られる半球
S₀: x²+y²=2², z=0とすると
∫[S+S₀]F・ndS=∫[V] divF dv ・・・・①

ところがS₀において、n=<0,0,-1>だから F・n=0 となり①は
∫[S]F・ndS=∫[V] divF dv
となる。

divF=2z+2z=4rcosθ
dv=r²sinθdrdθdφ
なので

B=∫[V] divF dv
　=4∫[0,2]r³dr { ∫[0,π/2] (∫[0,2π]dφ cosθsinθ) }dθ
　=4{[r⁴/4][r=2,0]} { 2π∫[0,π/2]cosθsinθdθ }
　=4(2⁴/4) { 2π[(sin²θ)/2][θ=π/2,0] }
=2⁴π=16π

ゆえに
A=B

この回答へのお礼

本当にありがとうございます。
入力ミスにより大変ご迷惑おかけしました。
これで理解することができました。
最後まで助けて頂きましたこと感謝いたします。

お礼日時：2021/04/24 15:41