下の表に、奇数を順々に並べていく。          
(1)n行目の左端の数をnの式で表せ。          
(2)1987は何行目の左端から何番目にあるのか。   
(3)1987がある行にある数の総和を求めよ。                         
           1
          3 5
         7 9 11
        13 15 17
       19 21 23 25
     27 29・・・・・・・・・・
    ・・・・・・・・・・・・・・・・・

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A 回答 (5件)

既にいくつか答えが出されているようですが、


考え始めた時は0だったので書いてしまいました。
せっかくなので載せさせて下さい。

(1)
n行目の左端の数の数列を{N_n}と置くと、
第m行にはm個の数があり、隣り合う数の差は2なので
    N_n+1 = N_n + 2n
よって
    N_n = N_n-1 + 2(n-1)
      = N_n-2 + 2(n-2) + 2(n-1)
      = …
      = N_1 + 2Σ{_k=1~n-1} k
      = 1 + 2 * (n-1)n / 2
      = n^2 - n + 1    ←(答え)

(2)
1987がm行目にあるとすると次の不等式が成り立つ。
    n^2 - n + 1 ≦ 1987 < (n+1)^2 - (n-1) + 1    …(A)
ここで
    x^2 - x + 1 = 1987 (x > 0)
とすると2次方程式の解の公式から
    x = (1 + √1945) ≒ 45.06…
実際、
    45^2 - 45 + 1 = 1981
    46^2 - 46 + 1 = 2071
であるから不等式(A)を満たすmは
    m = 45
即ち1987は45行目にある。45行目は
    1981, 1983, 1985, 1987, …
なので
    1987は45行目の左から4番目にある。    ←(答え)

(3)
m行目の数の和は
    (m^2 - m + 1) + {(m^2 - m + 1) + 2 } + … + {(m^2 - m + 1) + 2(m-1)}
    = m(m^2 - m + 1) + 2Σ{_k=1~m-1} k
    = m(m^2 - m + 1) + (m-1)m
    = m^3
よって1987のある45行目にある数の総和は
    45^3 = 91125    ←(答え)

この回答への補足

御名答です。
この問題は、昭和62年東京理科大の入試問題です。

補足日時:2001/08/24 00:01
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こんにちは。

さっきのに付け足します。
すでに答えが出ているようなので、解説します。

(1)については先ほどのサイトを見ればわかると思います。

(2)については n^2-n+1  が1987前後になるnを探します。
   n=45を代入すると、1981になり、
   45行目の一番左端が1981になることがわかります。
   とすると、1987は左から4番目になることがわかると思います。

(3)については、Sn=1/2・n{2・a+(n-1)・d}という
    等差数列の和を求める公式を使います。
    求める数列は、初項1981、n=45、公差2の数列なので、
    Sn=1/2・45{2・1981+44・2}
      =91125  
           となります。
     もっと詳しい解説が必要なときは、補足を下さい。
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あっ!痛いところを間違えてた(^^;。



そうそう45行目になりますね。自分で書いておいて
間違えるとは情けない(笑)。って解ってるのに
「わかんない。助けてちょ。」って意地悪なんだから。

だなんだと書きましたが、問題の表間違ってますからね。
と負け惜しみを言っておきます(爆)。
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 こんにちは!ちょっと聞きたいのですが、質問の表は間違っていませんか?


正しくは、
                                    
           1
          3 5
         7 9 11
      13 15 17  19 
     19 21 23 25  27 
    29・・・・・・・・・・      ではありませんか?

 であるとすれば
  一番左の数字で数列を作れば、
    1.3.7.13.19.29・・・・となります。
 これは、階差数列です。
ですから、階差数列で解けばいいわけです。
詳しい解説が必要なら、http://amanojack.tripod.co.jp/m/kiso066-3.htm へ

答えとしては、
 (1) N*2ーN+1  (N*2はNの2乗)
 (2)45行目の左端から4番目
 (3)91125       となります。

詳しく知りたいときは補足で教えてください。

参考URL:http://amanojack.tripod.co.jp/m/kiso066-3.htm 

この回答への補足

下の表は、誤りでした。すいません。

補足日時:2001/08/23 23:59
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こんばんは。



下の表ですが、

      1
     3 5
    7 9 11
   13 15 17 19
  21 23 25 27 29
 31・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・

という風にピラミッド型になるんでしょうか?そうでしたら、
(1)
n(n-1)+1

(2)
上記から1987より小さく、最も近い数字は44*45+1=1981です。

(1987-1981)/2+1=4 4番目です。

A.44行目の4番目

(3)
44行目には44個の数字があります。
(44*45+1)+2(x-1)のxの値が1~44
までを足し算するので
44*(44*45+1)+2(1~43の総和)=89056

さて、当たってると思いますがどうですか?

この回答への補足

(1)n^2-n+1
(2)第45行目の左端から4行目
(3)91125
が答えです。

補足日時:2001/08/23 23:23
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問題解決の方法をどなたかご教示戴けませんか?

どうしてこうなったのかも見当が付きません。

 

Aベストアンサー

> 何故か急にPCの不具合が直り、元に戻りました。
>  情けないですが何が原因で直ったのか解って居ませんが
>  当分様子を見たいと思います。

下記とよく似た現象です。
自然復旧ということでしょうか。

シャットだうん時のメッセージ
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6745665.html

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<<2N+4>>=2(3N-1)+4
<<2N+4>>=6N+2

となってしまいます。
博学な方、間違いの原因をご指摘ください。 

Aベストアンサー

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<<・>> という関数は、「・を3倍して1を引く」という関数です。
したがって、<<2N+4>>は、「2N+4を3倍して1引く」ことになります。

f(x)=2x+3
g(x)=3x-1
のとき、
g(f(x)+1)=3(f(x)+1)-1 の計算と同じです。


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