数学は正解が一つとよくいわれていること

Question

数学の問題で、解が無いことや複数の解があること、結果に
たどりつく方法が何通りかあることはよくあることだし、解き方
が一種類でも表現の仕方はいろいろあるのに、世間では

「世の中には正解なんていうものは無い！数学のように正解が
一つだけになることなんて無いのだ！！」

のように現実の問題には正解がないことが普通であることの
対比として数学には正解があってしかも一つだけだというよう
な表現を頻繁にみます。まるで数学は現実ではないとでもいい
たげに。

もし本当に正解が必ずあってしかも一つしかないというなら、
卑近なたとえでいうと、このサイトで質問一つにつき2つ以上
回答がつくはずないですよね？

数学に正解は一つだけと言う風潮はどこからきたのでしょうか？

tknakamuri · Accepted Answer

数学は「解く」道具でもありますが、表現の「言語」でもあります。
後者では同一の理論を別の表現であらわすこともできます。

これはそれを扱うものにとって同一ではなく、それぞれに価値のあるもので、
その論理的な同一性とはあまり関係なく、様々なバリエーションを
生み出します。

そういう意味では、「数学に正解は一つだけ」という考え方は
ばかげています。

MarcoRossiItaly · Answer

＞多価関数は関数ではないということですね。

いいえ、少なくとも私が No.3 で述べた意味においては、違います。関数が多価であるか否かは、一切問題にしておりません。質問者さんのおっしゃっている意味で言うなら、数学においても、解が幾つあっても別に差し支えありません。発散とか不明という答えでもいい。

＞それと、多価関数が定義できない（実際は出来る）ということは違うことです。

No.3 の「後者」の見方で物事を考えている人々は、定義するとか解くとかという以前なのであって、問題を定式化できない、何も書くことができないという話です。

質問者さんは、「x^2-3x+2=0」には、答えがあると思いますか、思いませんか？解の個数が幾つであろうとも、もしもこれが解けると質問者さんがお考えになるなら、質問者さんは「前者」です。

この式そのものを書くこともできない人、つまり「後者」は、方程式の解の個数のことなどにはもちろん考えが及ばず、本当は式が書けないせいで解けないという状態であるのに、方程式そのものに「答えがない」とか、「答えがいくらでもある」と表現しています。

「個数を数えている対象が両者で異なっている」と、No.3 の冒頭でご説明したとおりです。

気になるのは、問題を問題として認識できない状態で、いかにして現実社会において意思決定をしているのかということですね。個人的な過去の成功体験に近そうな選択をするのか、時が解決するのか分かりませんが、もしもたどり着いた先が好ましい結果だったならば、彼らはきっと、「これが唯一の答えだった」と発言するでしょう。しかし、そう言っているからといって、その結果が論理的な思考の上に得られたものだとは限らないということ。

なお、言うまでもないことですが、定式化できないのはその人の能力に問題があるからだと言っているわけでは全くありません。複雑であれば、少数の式にまとめられないのも当然です。しかし時はどんどん流れていくのだから、分からなくても意思を決定していかざるを得ません。

＞コンピュータにも公理が扱えるのですか？

プログラミングは論理式、論理値の逐次代入が全てと言っても過言ではないと思いますので、ある意味では得意分野かもしれません。プログラマの腕前次第といったところ。もっとも私は素人である上、頭がこんがらがるので、実際のプログラムで天国の門・地獄の門みたいな話は、とても具体的にご説明できる気がしませんけれども。

MarcoRossiItaly · Answer

No.3補遺：　不完全性定理

戦前ですが、ゲーデルさんなど幾人かの人々によって、1 つの解答が示されました。

これは、無矛盾性、自己言及、無限、（証明可能性あるいは真理性の）不完全性に関する問題で、パラドックスと呼ばれることもあるものです。今となっては当たり前の内容かもしれませんが、論理値の代入に関るので、プログラミングにも関係の深い話題です。

tadys · Answer

答えが有るとも、無いとも言えない問題が存在する事が証明されています。（ゲーデルの不完全性定理）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86

＞数学に正解は一つだけと言う風潮はどこからきたのでしょうか？
数学をよく知らない人が勝手に思い込んでいるのか、数学を知らない人をだますつもりの人がでっち上げたかのどちらかでしょう。

数学を知らない事でだまされないようにしましょう。
特に統計にはね、
例えば、「わが社の平均年収は１０００万円です」。
その実、社員９人の年収は合わせて９００万円、社長の年収は９１００万円、社長を含めた平均は１０００万円でした。

数学と現実の違う点は、
数学：誰がやっても同じ結果になる。 　現実：やる人によって結果が異なる事が有る。
修学：何回でも同じ事が出来る。　 　 　現実：一回しか出来ない事もある。

MarcoRossiItaly · Answer

両者の論述では、個数を数えている対象が異なっています。両者の論述とは、次の 2 つです。

●「結果にたどりつく方法が何通りかあることはよくあることだし、解き方が一種類でも表現の仕方はいろいろある」という論述
●「世の中には正解なんていうものは無い！数学のように正解が一つだけになることなんて無いのだ！！」という論述

前者は、答えにたどり着く筋道の個数や、答えの表現の仕方の個数を数えています。後者は、正解と不正解の個数がいずれも複数あるとの思想を前提とした場合の、正解である答えそのものの個数を数えています。

数学では、後者のような態度は許されません。もしも解が定まらないのであれば、「不定」という 1 つだけの答えを探そうとします。それができない状態というのは、その問題が未解決なだけです。つまり前者では、筋道などがたくさんあったとしても、本質的に正解は 1 つしか存在が許されないと信じて、問題に取り組みます。異なる方法で得られた 2 種類の答えが実は同じ意味であるということがどうしても言えなければ、その 2 つのうち少なくとも 1 つは、誤りであると考える必要が出てきます。

現実の社会問題などでは、答えを出したくても出せないという状況がたくさんあります。できることなら数学のように 1 つの答え（前者）にしたいが、どうしてもできないから諦める。本当の意味で正解がないのかどうかは分からないが、できない、論理的に結論が出ないという現実だけが今ここにあるので、比喩的に「正解がない」と述べてみる。そんな文学です。

もっとも、数学というのは解き方さえも 1 通りしかないと誤解している水準の人々も、世の中には少なくないのかもしれませんが。実際には何百通りも解法が発見されているような問題もあることは、ご存じのとおりです。

KoalaGold · Answer

例外はあるがほとんどの計算式の正解は一つ、を大げさに言っただけでしょう。

アメリカはキリスト教の国だ、日本人は裕福だには確実に例外はありますが、大雑把に言い切れますから。

Subaru_Hasegawa · Answer

日本国憲法みたいに解釈で意味が変わる事は、数学にはない。

数学は正解が一つとよくいわれていること

数学は「解く」道具でもありますが、表現の「言語」でもあります。

＞多価関数は関数ではないということですね。

この回答への補足

No.3補遺： 不完全性定理

この回答への補足

答えが有るとも、無いとも言えない問題が存在する事が証明されています。

両者の論述では、個数を数えている対象が異なっています。

この回答への補足

例外はあるがほとんどの計算式の正解は一つ、を大げさに言っただけでしょう。

この回答への補足

日本国憲法みたいに解釈で意味が変わる事は、数学にはない。

この回答への補足

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