某中学校入試問題 図形の辺の合計が同じならば、面積の一番大きな図形の形は？

某中学入試の問題です
「あるところに王様がいました。
　王様は国民に同じ長さのロープを配って、こういいました。
　”このロープで地面を囲って好きな図形を描き、
　一番面積を大きく囲った者にその土地を与えよう”
　さて、一番大きく土地を囲うためには、地面にどのような図形を描いたらいいでしょうか？
　注）囲う事が条件なので、ロープの先頭と最後にすき間があってはなりません。
　また結び目は考慮しません。囲うためにはロープの先頭と最後を接触させるだけでよいとします。
　ロープの太さは無視します。土地は平らです。ガケや階段状、坂道などを囲うことはできません」

この問題、言い換えれば以下のようになると思います。
「図形の辺（円や円弧にあっては円周や弧）の合計が同じならば、図形の面積が最大になる形はどのような形か？　これを証明せよ」
（まあ、証明せよ、は元の質問には書いてありませんが、証明しなければ政界であることを主張できませんから、証明までを質問文とします）

さて、この問題はどの様に解いたらいいでしょうか？

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/04/30 21:50

答えを先に云うと、周囲の長さが一緒の図形で

面積が 最大になるのは 円形 です。
四角形の場合に限ると 正方形 になります。

証明は 同じ面積の 円や四角形や多角形の
周囲の長さを計算すれば良いです。
中学入試では 少し難しすぎますかね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>答えを先に云うと、周囲の長さが一緒の図形で
面積が 最大になるのは 円形 です。

ありがとうございます。
なんか、感覚的にわかる気はするんですが、一歩踏み込んで理屈で言うと
当たってない気もします。（ま、その疑問はまた別のところで）

>四角形の場合に限ると 正方形 になります。

ってことは三角形の場合は正三角形が一番面積が大きいんでしょうかね？
と、思って、まずロープの長さがｎの場合の正三角形の面積を求めるところで挫折しました。

>証明は 同じ面積の 円や四角形や多角形の
周囲の長さを計算すれば良いです。

理屈はわかるんですが、では正三角形と、他の三角形を一つを比較して
「正三角形の方が面積が大きい」
と証明したとしても
「それは多数ある正三角形以外の一つの三角形との比較に過ぎない。
　辺の長さを同じくするすべての三角形の中で正三角形が一番面積が大きいことを証明しろ。
　そのつぎに
”（辺の長さが同じなら）正三角形よりも他の正多角形の方が面積が大きくなり、正n角形のnを極限まで大きくすると円形になる。
　ゆえにこの問題の正解は円である」
と導かねば過程点は与えられない、
といわれたら小学生にはとてつもなくハードルが高いですね

これ、中学入試問題じゃないですね…
どこかで中学入試問題、と聞いたのが誤っていたか、あるいは実際に出題されたとしたら、「想像力を図る問題」（数学なのに？）という問題でしょうね。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2021/05/01 08:17

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/30 22:12

面積が最大になるのが円のときであることは

多くの小学生が知っているとは思いますが、
その証明は中学生には難しすぎますね。
高校の数IIIでも道具が足りなくて、範囲としては
大学生のレポートのネタくらいにはなるかな。

小学生向けといえば、証明ではないけれど
「ロープ」を非常に軽い材料で作って床に置き、
中央に水を落とすのはどうでしょう？
材料と水の分量を上手く選べば、
ロープは広がって円形になるでしょう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>面積が最大になるのが円のときであることは
多くの小学生が知っているとは思いますが、
その証明は中学生には難しすぎますね。

小学生はこの正解を知ってるんですね、どこで習うんでしょうか？

>大学生のレポートのネタくらいにはなるかな。

大学レベルでしたか・・・

>小学生向けといえば、証明ではないけれど
「ロープ」を非常に軽い材料で作って床に置き、
中央に水を落とすのはどうでしょう？
材料と水の分量を上手く選べば、
ロープは広がって円形になるでしょう。

そうなるんですね。

お礼日時：2021/05/01 08:20

No.3 ベストアンサー 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/04/30 23:59

中学入試という前提で考えると、

面積が最大になるような図形を、面積を二等分するように直線で分割したとする。このとき、両側の周囲の長さは等しい。なぜなら周囲の長さが異なるとすれば、短いほうの図形を反対側にコピーすれば、短いロープで同じ面積を囲えてしまうことになるからである。
線の両側で面積も周囲の長さも等しいので、一方を反対側にコピーしても面積もロープの長さも変わらない。つまり、線対称な図形にできる。
どの方向の直線についても同じことが言えるため、面積が最大の図形はあらゆる方向について線対称にできる。
円はあらゆる方向について線対称な図形である。

そんなところではないでしょうか。
あらゆる方向について線対称な図形が円しかないと言えればよいのですが、中学入試ですからねえ。

というか、ほんとにこんなの中学入試で出たんですか？どこの何年度？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>あらゆる方向について線対称な図形が円しかないと言えればよいのですが、中学入試ですからねえ。

線対称、って中学の数学の履修内容でしたっけ？
小学生じゃわからないかな・・・

>というか、ほんとにこんなの中学入試で出たんですか？どこの何年度？

人づてに聞いたので不明です。

お礼日時：2021/05/01 08:23

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2021/05/02 08:26

正ｎ角形（ｎは自然数）の内角の和は、(n-2)x180°です。

これは、正ｎ角形
に三角形が(n-2)個あるからです。そうすると、１つの頂点の角度は
(n-2)x180°/n=180°ー360°/nです。
ｎ→無限の時、１つの頂点の角度は180°になります。これは、円の接線
の角度です。この円に内接する正ｎ角形も外接する正ｎ角形も、ｎ＝無限
で円と一致します。この時、正無限角形と円の周囲の長さは同じになります。よって、円が一番面積は大きく成ります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

難しい問題ですね

お礼日時：2021/05/02 15:34

No.5 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/05/02 15:19

ネットで検索したら、こんなのを見つけました。

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hisamoto/notes/i …

あらゆる軸に関して線対称な図形、すなわち円盤に近づいてゆく「だろう」という考え方も載ってました。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

すでにこの問題を解いたひとがいるんですね

お礼日時：2021/05/02 15:35