円と放物線

円と放物線がちょうど二つの共有点を持つとき、
一方の共有点において円と放物線が接している
ならば、もう一方の共有点でも接している、
と言えますか？

質問者からの補足コメント

• 

  優秀な回答者も間違えるということ、そして、間違えた回答者はどのようにして質問者に難癖をつけてくるか、
  ということが大変興味深かったので、その観点からベストアンサーを選出させていただきます。
  
  皆様の参考になれば幸いです。

    補足日時：2021/06/10 08:44

No.10 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/06/06 00:28

「極めて具体的」と「(極めてでない) 具体的」とは, どのような差異があるのでしょうか? それぞれの「極めて具体的な例」と「(極め

てでない) 具体的な例」をいくつか挙げてもらえると考えやすいので助かるのですが.

この回答へのお礼

y=x^2
(x-1)^2+(y-1)^1=1
のように、具体的に数式で書いてあるもののことです。

そのような例をお願いします。

お礼日時：2021/06/06 00:32

No.11 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/06/06 23:34

x^2+y^2=9/4, 2x^2-3x+y^2-(2√2)xy+(3√2)y=0.

この回答へのお礼

円と放物線の具体例を挙げるのに、
放物線の軸がy軸対称じゃないって…。
根性ひん曲がり過ぎてませんか？

きちんとy軸対称に変換してから出直してきなさい。

お礼日時：2021/06/07 02:00

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/06/04 23:34

「たぶんだけど, できる.」と書いたが「なんかおかしいな」と思って再確認したところ「できていなかった」ことが判明.

もっといえば
反例が作れる
ことがわかった.

この回答へのお礼

その反例(ただし極めて具体的なものに限る)を教えていただくことはできますか…？

お礼日時：2021/06/05 20:34

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/06/02 00:11

たぶんだけど, できる.

円と放物線のそれぞれを式で書いて「一方の共有点において円と放物線が接している」という条件から制限を付ける. そのうえで「ちょうど二つの共有点を持つ」という条件を加味すれば示せると思う.

健闘をいのる.

この回答へのお礼

曖昧すぎて、よくわからないのですが…。

「できる」というのはどういうことですか？
質問に対する結論はなんなのでしょう？

一方が接点ならもう一方も接点だということを示すことが「できる」ということですか？

それにしてももう少し具体的にやってもらわないと私にはちょっと…。

お礼日時：2021/06/02 04:30

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2021/05/28 23:59

No.6へのコメントについて。

なーんだ。ご自身の模範解答を開陳したいがための釣り質問でしたか。でしたら、早く教えていただけませんか。

この回答へのお礼

なぜそうなるのでしょう…？
ふつうに、わからない、知りたい、ので聞いているだけですが…。

ちなみに、私には変曲点を持たない二つの曲線について

>変曲点を持たないので、……接点において接線をまたぐことはなく、つまり、接点の前後で(z(p)-c^2)は符号を変えない。

が成り立つということが、まったく理解できませんでした…。具体例y=f(x)、y=g(x)をすぐに挙げることは、私の能力不足でできませんが、すこし想像してみればこれが成り立たないような例はごくかんたんに思い描けるのでは…？

そのあとの

>z(x)=c^2, z'(x)=0, z''(x)=0

この方程式もあまりよく理解できませんでした。なんの関係があるんですか？
z(x)=c^2は、共有点のx座標がこの方程式をみたしている、ということですよね。z'(x)=0は共有点において接線の傾きが等しいということ。次がわかりません。

z''(x)=0って、なんの関係があるんですか？

お礼日時：2021/05/29 09:25

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2021/05/28 14:59

No.4へのコメントについて。

> やはりきちんと数式を使って議論された方がよろしいのでは…？

　No.3はわからんけど数式なら分かると仰るんで？ ふうん。

　どんな円と放物線の組み合わせも、適当な回転・縮尺・平行移動によって直交座標系(x,y)上の円
　　(x-a)^2 + (y-b)^2 = c^2
と放物線
　　y = x^2
で表せる（もちろんa,b,cは実数）。円の中心(a,b)と(x,x^2)との距離の２乗をz(x)とすると
　　z(x) = (x - a)^2 + (x^2 - b)^2
と書いてみるまでもなくz(x)は連続であり、しかも|x|→∞のときz(x)→∞。
　dz/dx をz'(x), dz'/dxをz''と書くことにする。放物線上の点(p, p^2)が円との共有点だというのは、z(p)=c^2ということ。滑らかな曲線F, Gが点Cで接するというのは、CにおけるFの接線とCにおけるGの接線が一致する、ということだから、共有点pにおいてz'(p)=0ならpは円と放物線の接点、さもなくばpは（接点でない）交点。明らかに、円も放物線も変曲点を持たないので、円も放物線も接点において接線をまたぐことはなく、つまり、接点の前後で(z(p)-c^2)は符号を変えない。（式でなくちゃ嫌だと言うのなら、連立方程式
　　z(x)=c^2, z'(x)=0, z''(x)=0
が実数解を持たないことを証明するだけ。）
　以下、円と放物線が（接点でない）交点を持つ場合に限定する。xが十分小さいときz(x)＞c^2だから、（接点でない）交点のうちx座標が最小のもの(p,p^2)においてz'(p)＜0である。なので、Δx＞0が存在してz(p+Δx)＜c^2。しかし、xが十分大きいときz(x)＞c^2で、しかもz(x)は連続だから、中間値の定理より、q＞p, z(q)=c^2, z'(q)＞0であるような交点qが存在しなくてはならない。だから、円と放物線が（接点でない）交点を持つなら、（接点でない）交点が1個だけということはない。…ということをNo.3は言っとるだけ。

この回答へのお礼

……。
接するということについて物凄い誤解を抱いておられるような…。

お礼日時：2021/05/28 18:44

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/28 00:09

平面上に直線を引くと平面はその直線によって「あっち」と「こっち」にわかれるんだけど, 放物線にしても円にしてもその接線に対して

「あっち」と「こっち」の両方に含まれる
ことはない. なので, 円と放物線の方程式を連立させて得られる (4次) 方程式は 3重解を持てない.

この回答へのお礼

うーん…やはり接するということの定義をもう一度確認された方がよろしいのでは…？

お礼日時：2021/05/28 00:55

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2021/05/27 23:12

No.3へのコメントについて。

> 一方が接点ならもう一方も接点だと言えるのでしょうか？言えないのでしょうか？

　あらららら、まだ難しかったかな？
　No.3では、共有点が2個の場合なら「一方が接点で、もう一方が交点」ということはあり得ない、と言ってるんです。当然、一方が接点ならもう一方も接点でなくちゃならんわけです。

この回答へのお礼

すこし直感に頼りすぎていていませんかね…？
やはりきちんと数式を使って議論された方がよろしいのでは…？

お礼日時：2021/05/28 00:54

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/05/27 20:57

放物線に沿って点pを動かしてみると、初めは無限の彼方にあった点pが、頂点に近づくとカーブを描いて、また無限の彼方に去っていく。

　この放物線と交点xで交わる円があるとする。放物線に沿って動く点pは初め円の外にあるが、xを越えたところで円の中に突入する。つまり点xが円への入り口。そしていずれ円から出るときにpは円と放物線との交点yを通過する。yが出口というわけ。放物線はそれ自身と交叉してはいないから、入り口xと出口yが同じ点ということはない。
　さらに、pは結局無限の彼方に去っていくから、最終的には円の外に出なくてはならない。pが交点を通るたびに「円の外にあるか中にあるか」が反転するのだから、最初に円の外にあったpが最後に円の外に出るためには、交点は偶数個なくてはならない。

　というわけで、円と放物線が一つ交点（接点ではない）を持つなら、少なくとももう一つ交点（接点ではない）が存在する。

この回答へのお礼

？？？
結局どちらなのでしょうか？
一方が接点ならもう一方も接点だと言えるのでしょうか？言えないのでしょうか？

どちらですか？？？

お礼日時：2021/05/27 21:42

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/05/27 19:00

数式は ちょっとめんどくさいですから、

グラフに 円と放物線を いろいろ書いてみれば
視覚的に 理解できませんか。

この回答へのお礼

視覚的にはそうなるかもしれませんが、
もしかしたら間違いかもしれない…
と思って質問させていただきました。

お礼日時：2021/05/27 19:46