次のセンター試験の数学の積分問題について教えてく

問題の設定は
「座標平面上で、放物線y=2x^2をCとし、放物線y=-(x-p)^2+2をDとする。CとDは異なる2点で交わるとし、交点のx座標をα,β(ただしα<β)とする。又、放物線C,Dで囲まれた部分の面積をSとする。」
となっています。
解答ではS=(8/27)*(3-p^2)√(6-2p^2)
でした。しかし私が計算したところ、分母の部分(27)が81
になってしまいます。以下に私のした計算を示しますので誤りのご指摘お願いします。(問題のソースはセンター試験2014年度追試数学ii,B)

整式2x^2と-(x-p)^2+2の差をf(x)とおくと、
f(x)=3x^2-2px+p^2-2
解と係数の関係より
α+β=2p/3,αβ=(p^2-2)/3なので
(β-α)^2=(α+β)^2-4αβより
β-α=(2/3)*√(6-2p^2)

よってSは1/6公式により
s=(1/6)*{(2/3)*√(6-2p^2)}^3=(8/81)*(3-p^2)√(6-2p^2)


おねがします。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/06 18:15

このような間違いをする原因は積分式を正確に書いていないからです。

S＝∫(α→β)[-3x^2+2px-(p^2-2)]dx=-3∫(α→β)[x^2-2px/3+(p^2-2)/3]dx

=-3*[-(β-α)^3/6]=(β-α)^3/2=[(2/3)*√(6-2p^2)]^3/2=(4/27)[√(6-2p^2)]^3

=(8/27)(3-p^2)√(6-2p^2)


被積分関数-3x^2+2px-(p^2-2)のx^2の係数3を見落としています。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/01/06 17:29

次の 2つの問題は解けますか?

1. 放物線 y = x^2-1 と x軸で囲まれる部分の面積を求めよ.
2. 放物線 y = 2(x^2-1) と x軸で囲まれる部分の面積を求めよ.