3つの連続する数字の積に2番めの数字を足すと、2番めの数字の3乗になる、という問題の証明について

3つの連続する数字の積に2番めの数字を足すと、2番めの数字の3乗になる、という問題の証明を以下のようにしました。
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3つの連続する数字をn,n+1,n+2とすると
n(n+1)(n+2)+n+1=n(n^2+3ｎ+1）+1
　　　　　　　　　 =n^3+3n^2+n+1

2番目の数の3乗は
(n+1)^3=(n+1)(n^2+2n+1)
=n^3+2n^2+n+n^2+2n+1
=n^3+3n^2+3n+1

よって、3つの連続する数字の積に2番めの数字を足すと、2番めの数字の3乗になる。

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ワークを確認すると、3つの連続する数字をｎ-1,n,n+1として正解が書いてあり、
色々なサイトを調べると、実際に中学校のテストで上記の回答だと不正解とされてしまった例もあるようです。

上記の回答だと何が原因で不正解となるのでしょうか？
具体的には、上記の文章などではなく、3つの連続する数字をｎ-1,n,n+1としなければいけない理由（例えば、なにか矛盾する点がでてくるのか）という点について悩んでおります。

急いでいるのでなるべく早い回答をお待ちしております。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• t_fumiaki様
  tent-m28様
  Kairou様
  ありものがたり様
  
  ベストアンサーを決められないので、ここでお伝えさせてください。
  
  教えていただいた皆様それぞれの回答全てが私にはない視点で、なおかつ素早く教えていただいて非常に助かりました。
  
  本当にありがとうございました。
  
  ここで質問を締め切らせていただきます。

    補足日時：2021/05/29 20:58

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/29 20:01

不正解とされたのは、

n(n+1)(n+2)+n+1 = n(n^2+3ｎ+1）+1
　　　　　　　　　= n^3+3n^2+n+1
という計算が間違っているからだと思います。
正しくは、
n(n+1)(n+2)+n+1 = n(n^2+3ｎ+2）+n+1
　　　　　　　　　= n^3+3n^2+3n+1
です。
そうでないと、(n+1)^3 の展開結果と同じになりません。

この計算ミスがなければ、
3つの連続する数字を ｎ-1,n,n+1 でなく n,n+1,n+2 と
置いたからといってバツをくらう理由はありません。

でも、こういうミスを予防するためには、
計算が簡単になるような置き方を工夫したほうがよいでしょう。
解答例は、そのために ｎ-1,n,n+1 としているのです。

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

今、見直したらご指摘のとおり計算ミスしてますね。


その点だけでなく、3つの連続した数の表し方に解答と相違があり、迷っていたのでその点についてもズバッと教えていただき助かりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2021/05/29 20:35

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/05/29 15:29

例えば 「n を自然数とする」と云う条件が付いていたり、

当然 正の整数 であることが 分かっていれば、
n-1 は n≧2 と云う条件が 必要になりますね。

整数 と云う条件だけならば n-1, n, n+1 と
する方が 良いと思います。
「計算が楽になる」 と云う事は
「計算ミスが少なくなる」 ですから。

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございました。

n-1だと当てはまらない例がでてくるのではないか、とも思っていたのでその場合の必要な条件の記述も教えていただき助かりました。

計算を楽にする、と言う視点も新たな気づきとなりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2021/05/29 20:33

No.2 回答者： tent-m28 回答日時： 2021/05/29 15:23

不正解ではありませんが、スマートな証明ではありません。

私なら✖にはしませんが、△にはすると思います。

中央の数の3乗になることを証明するのですから、中央の数を n とおくのが原則です。
そうでないと、中央の数を3乗する計算も必要になります。
（高校では、3乗の展開公式も習うはず。）

どちらが早いかは、明白だと思います。

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございました。

確かにこの式の方が3乗になったことがわかりやすいですね。
対象になっているものを、nとおく、という点も自分にはなかった視点で非常に参考になりました。

ありがとうのざいました。

お礼日時：2021/05/29 20:30

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/05/29 14:17

100点ですよ。

ｎ-1,n,n+1とした方が計算式が簡潔になり簡単になる、と言うだけです。

不正解になるのは、問題文に何か制限が書いて有る場合だけです。
例えば、真ん中を基準にしなさい、とか、真ん中をnとしなさい、とか。

ｎ-1,n,n+1とするとスッキリする例。

(n-1)n(n+1)=n(n²-1)だから、(n-1)n(n+1)+n=n(n²-1)+n=n³
真ん中はnだから、3乗するとn³

全て暗算で出来るから、極めて簡単にできる。

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございます。
あっているかどうか不安でしたので、100点と言っていただき安心しました。

ありがとうございました。

お礼日時：2021/05/29 20:28