f(x,y)を2変数のc2級関数、a.bを定数としてz(t)=f(x,y) とおく。x=e^at、y

f(x,y)を2変数のc2級関数、a.bを定数としてz(t)=f(x,y)
とおく。x=e^at、y=e^btとする。
z”(0)の値をa,b,fx(1,1),fy(1,1),fxy(1,1),fxx(1,1),fyy(1,1)を用いて表せ。
解き方教えてください！

質問者からの補足コメント

• 一応解けて、z”(0)=a^2fxx(1,1)+2fxy(1,1)+b^2fyy(1,1)+a^2fx(1,1)+b^2fy(1,1)となりました。
  あってますかね？

    補足日時：2021/06/01 15:14

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/01 21:04

式中の 2fxy(1,1) が、たぶん 2ab f(1,1) のタイプミスかと。

x = (e^a)t, y = (e^b)t じゃなく
x = e^(at), y = e^(bt) なんだろうから、
dx/dt = ax, dy/dt = by.
あとはコツコツ合成関数の微分をするだけ。

z(t) = f(e^(at), e^(bt)),

z’(t) = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)
　　 = fx・ax + fy・by,

z’’(t) = { (fxx・ax + fxy・by)ax + fx・(a^2)x }
　　　　+ { (fyx・ax + fyy・by)by + fy・(b^2)y },

z’’(0) = { (fxx(1,1)・a + fxy(1,1)・b)a + fx(1,1)・(a^2) }
　　　　+ { (fxy(1,1)・a + fyy(1,1)・b)b + fy(1,1)・(b^2) }
　　　= (a^2)fxx(1,1) + (2ab)fxy(1,1) + (b^2)fyy(1,1)
　　　　+ (a^2)fx(1,1) + (b^2)fy(1,1).