No.3ベストアンサー
- 回答日時:
No.1&2 です。
その問題であれば
a<r のとき E = Q/(4パイε0*r^2)
r<a のとき E = 0
でしょう。
おそらく、その解答からすると
「電荷Qが、半径aの球面上に一様に分布している」
ではなく
「電荷Qが、半径aの球内に一様に分布している」
なのではないかと思います。
その場合には、球内の電荷密度が
Q/[(4/3)パイa^3]
になるので、r<a のときにはガウス面の内部の電荷は
Q' = {Q/[(4/3)パイa^3]} × (4/3)パイr^3 = (r^3 /a^3)Q
ガウス面の表面積は
S' = 4パイr^2
なので、ガウスの法則により
Q'/ε0 = E * S'
従って
E = [Q/(4パイε0*r^2)](r^3 /a^3) = Qr/(4パイε0*a^3)] ①
a<r のときは、
E = Q/(4パイε0*r^2) ②
求めるものが「電場」ではなく「電位」であれば、この電場による静電力に逆らって、基準点(無限遠)から「単位電荷」を運んで来る仕事が「電位」なので
a<r のとき:
V(r) = -∫[∞→r]{Q/(4パイε0*R^2)}dR
= -[Q/(4パイε0)]∫[∞→r](1/R^2)dR
= -[Q/(4パイε0)][-1/R][∞→r]
= Q/(4パイε0*r)
r<a のとき
V(r) = -∫[∞→a]{Q/(4パイε0*R^2)}dR - ∫[a→r]{QR/(4パイε0*a^3)]}dR
= -[Q/(4パイε0)]∫[∞→a](1/R^2)dR - [Q/(4パイε0*a^3)]∫[a→r]RdR
= -Q/(4パイε0)[-1/R][∞→a] - [Q/(4パイε0*a^3)][R^2 /2][a→r]
= Q/(4パイε0*a) - [Q/(4パイε0*a^3)](r^2 - a^2)/2
= [Q/(4パイε0)][1/a - (1/2)r^2 /a^3 + (1/2)(1/a)]
= [Q/(4パイε0)][(3/2)(1/a) - (1/2)r^2 /a^3]
= [Q/(4パイε0)](3a^2 - r^2)/(2a^3)
ということで、「問題文」が2重に違っていて、
(1) 電荷は「半径aの球面上に一様に分布」ではなく「半径aの球内に一様に分布」
(2) 求めるものは「電場」ではなく「電位」
であれば、お示しの解答に一致します。
本当にありがとうございます。
教科書が少し古いもので、問題文に誤りがありました。全く気が付かずに申し訳ございません。
この部分がテストに出そうなので、頑張ろうと思います。
ありがとうございました!(^^)
No.2
- 回答日時:
No.1 です。
「補足」を見ました。>これの作る電場はどうなるか?
「電場」ですか? 「電位」ではなく。
No.1
- 回答日時:
>ガウスの法則で
ということは大学生?
少しは勉強してから質問しているのかな?
>r>a の時は、E=0なので、
まさか。
>r<a の場合は、 Q/(4πε0) 3a^2-r^2/2a^3 と答えがなっていて
それ、どういう式?
どういう日本語?
はい、大学生です…。学科は物理系ではありません。
すみません間違えました。
r<a の時に Eが0で、
r>a の時は、 Q/(4πεr^2) となると思っていたのですが、
答えを見ると、上記の質問のようになっていて、わけがわかりませんでした。
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電荷Qが、半径aの球面上に一様に分布しているとき、これの作る電場はどうなるか?
答えは下記のようになっています。
色々とすみません。