No.1ベストアンサー
- 回答日時:
地道に解くなら
y=cosθのグラフを見ることです
すると
y=0となるのは
θ=π/2,3π/2…①であることがわかります
さらに、グラフには周期があり2πごとにおなじ波形が繰り返されているので
θ=π/2に2nπ(2π、4π、6π・・・)を足し引きしてもy=0になることがわかります
ゆえに一般解はθ=π/2+2nπ…②
同様に3π/2+2nπ…③も一般解(ただしnは整数 n=0のときが解①を示している)
ただし、π/2と3π/2の差はπなんで②、➂は統合してあげることができて
ひとまとめにすると
一般解は θ=(π/2)+nπ
ですが、多くの人は単位円を利用してサクッと答えを出します
原点中心 半径1の円を描いて その円周上に点P(x,y)をとると
x軸(正の方向)から反時計回りに角度θの位置に半径OPがあるとき
Pの座標は(cosθ、sinθ)となる ・・・三角関数の定義を参照
このことから cosθ=0となるときPの位置は円とy軸が交わる(0,1)または
(0,-1)なんで
θ=・・・-π/2,π/2,3π/2,5π/2,7π/2・・・・です
ゆえに該当のθの範囲では π/2、3π/2 が答え
一般解は今列挙した無数のθをすべて答えなければいけないので
nを整数としてθ=(π/2)+nπ
No.2
- 回答日時:
cosθ の定義を思い出しましょう。
x軸の正部分を、原点中心で半時計回りにθラジアンだけ回転した半直線と、
原点中心半径1の円周との交点のx座標が cosθ です。
原点中心半径1の円周上で、x座標が0である点はどこにありますか?
(0,±1) ですね。 原点を端点とし、これらの点を通る半直線が
x軸の正部分をどれだけ回転させたものかを考えれば、
それが cosθ=0 の解になるわけです。
図を描いてみると、そのような角度は 90° と 270° (ラジアンでは π/2 と 3π/2)
であることが判ります。 表面上見えているのはそれだけですが、
半直線の回転は 360° 以上や負の角度(逆回り)になってもかまわないので、
cosθ=0 となる回転角は 90°+360°n, 270°+360°n {nは任意の整数}
(ラジアンでは θ = π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn) となるのです。
この、1回転以上や負の角度も含む全ての解を「一般解」と呼びます。
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