無理数

(1) k≧1でk<√(k^2+1)<k+1/(2k)が成り立つことを示せ。
(2) Σ[k=10→29]√(k^2+1)が無理数であることを示せ。

(2)で(1)はどのように使うのでしょうか？教えて下さい。

No.13 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/15 21:08

＞ 純粋な気持ちから質問されているように見えませんでしたので

No.10 の証明方針によるものだから、 No.11 で横取りするんじゃなくて、
f(x) が整数係数である理由を adh さんに補完して欲しかった
というのが思惑。 整数係数にならない とひっくり返す気は無いよ。
彼の登場を 1 日くらい待って、来なかったら私が書いてしまうつもり。

この回答へのお礼

そういうことでしたら、楽しみにお待ちしております。

お礼日時：2021/07/16 21:13

No.12 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/15 18:29

＞ ふつうはこんなことしないでしょうね。

＞ Σ[k=10...29] 1/(2k) < Σ[k=10...29] 1/(20)
＞ かと。

文句つけるところはソコですか？
証明方針と何の関係もないし、間違ってない所を批判してもねぇ。

この回答へのお礼

>文句つけるところはソコですか？

どうしてもコレ↓
>f(x) が整数係数であることはどうやって示そう？
が純粋な気持ちから質問されているように見えませんでしたので、
他の気になるところにツッコミを入れただけですが…。

お礼日時：2021/07/15 19:44

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/15 17:34

No.10 の方法では、こうかな。

s = Σ[k=10...29] √(k^2 + 1) と置くと、 s は整数係数の消去多項式
f(x) = π[±の全ての組み合わせについて]{ x - Σ[k=10...29] (±)√(k^2 + 1) } を持つ。
f(x) の最高次の係数は 1 だから、 f(x) = 0 が有理数解を持つとすれば
それは整数( 特にf(0)の約数だが、それはこの際どうでもいい )に限られる。

(1) の式を k = 10,11,…,29 で Σ すると
Σk < Σ√(k^2+1) < Σk + Σ1/(2k) だが、
Σk が整数であり
0 < Σ[k=10...29] 1/(2k) < Σ[k=10...29] ∫[k-1,k] 1/(2x) dx
　　　　　　　　　　　　　= ∫[9,29] 1/(2x) dx = (1/2)log(29/9) < 1 であることから
この範囲に整数は存在しない。

見事だけれど、 f(x) が整数係数であることはどうやって示そう？

この回答へのお礼

>Σ[k=10...29] 1/(2k) < Σ[k=10...29] ∫[k-1,k] 1/(2x) dx
>= ∫[9,29] 1/(2x) dx = (1/2)log(29/9) < 1

ふつうはこんなことしないでしょうね。
Σ[k=10...29] 1/(2k) < Σ[k=10...29] 1/(20)
かと。

お礼日時：2021/07/15 18:06

No.10 回答者： adh 回答日時： 2021/07/12 13:56

例えば、√2+√3は無理数です

実際この数は方程式x^4-10x^2+1=0の根であり、√2+√3=q/pとおくとp=1でないといけませんが、3<√2+√3<4よりこれは不可能です

この回答へのお礼

ありがとうございました。
(1)の使い方も分かりました。

お礼日時：2021/07/12 14:25

No.9 ベストアンサー 回答者： adh 回答日時： 2021/07/12 13:36

この問題の背景には有理数の整数環が整数に一致する事があります

(2)で与えられた数は、ある特徴をもった多項式の根になる事を示せばあとは容易いと思います

この回答へのお礼

ありがとうございます。
分かりました。

お礼日時：2021/07/12 14:25

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/11 16:13

まあ確かに、Σ する項数が 5 項を越えると

trivial ではないんだけど...
Tacosan は、過去の回答実績から見ても
解って言ってるんだと思うよ。

√n (nは平方因子を持たない自然数) が
有理数上一次独立であることは、
証明は難しいがよく知られた事実だから
使ってしまってもいいかとも思う。

この回答へのお礼

>Tacosan は、過去の回答実績から見ても
>解って言ってるんだと思うよ。

えっ！？
他の質問をしたときに電灯屋さんとTacosanさんから回答をいただいたのですが、Tacosanさんは電灯屋さんと同じ論理的な間違いをしていて、さらに電灯屋さんと同じ方法で論理的間違いを誤魔化そうと画策しているのを目撃しましたけど…。
Tacosanさんの他のどの回答を見てもイマイチなものが多くて、正直言ってTacosanさんから電灯屋さん以上の学力を感じたことはありません…。
質問者に協力したいというよりも、むしろ、自分を優秀に見せたいという願望が強いのか…？と思うこともしばしばです。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12451862.html のNo.6なんかも本当は解けていないのに、さも自分は簡単に解きましたよーと演出したいだけの見栄ですよね…。

他の方へのTacosanさんの回答を見ていても曖昧、いいかげん、不親切なものばかりで、ちょっとうんざりしてしまいますが…。

お礼日時：2021/07/15 16:55

No.7 回答者： 電灯屋 回答日時： 2021/07/11 14:04

10年後になったらまた出直して来てください。

この回答へのお礼

10年後出直して来たら、あなたは今よりさらにボケてませんか？

お礼日時：2021/07/11 14:06

No.6 回答者： 電灯屋 回答日時： 2021/07/11 13:53

あなたが大学の教員か何だか知りませんが、こんなのが数学だったら下らないとしか言いようがないですね。

この回答へのお礼

だとすると、こんな下らない問題ですら何を問われているのかまともに理解できていないあなたは一体どうなるのですか？(笑)

前回の質問のときも思ったのですが、問題への理解力、つまり、問題が何を問うているのか論理的に分析にする能力が、あなたは著しく欠けていると思います。

あなた、いったいどういう教育受けてきたんですか？

お礼日時：2021/07/11 14:01

No.5 回答者： 電灯屋 回答日時： 2021/07/11 13:48

それは今回の状況で発生しますか？

この回答へのお礼

いや、だから…。
それが起きないことを証明する問題でしょうよ。

あなたには難しいんじゃないですか…？
無理しなくて結構ですよ。

お礼日時：2021/07/11 13:50

No.4 回答者： 電灯屋 回答日時： 2021/07/11 13:44

トリビアルではないと言うなら、無理数に無理数を足して有理数になることがあることを証明して下さい。

この回答へのお礼

√2+(5-√2)=5

お礼日時：2021/07/11 13:47