No.5ベストアンサー
- 回答日時:
< No.4 それダメす。
∀x(x∈A ⇒ f(x)=x)だから。B = (-1,1) = { x | |x|<1}
A = B \ {0}
さて、#A=#B ⇔(#A≦#B ∧ #A≧#B) じゃなかったっけ。ならば、A⊂Bなので#A≦#Bは自明。あとは#A≧#Bを言うだけでしょう。すなわちA→Bの全射gを構成するだけ。例えば
g(x) = if x<0 then x else (2x - [2x]) ([ ] は整数部分。ガウスの記号)
とやると g(1/2)=0。もちろん、例えばf(0.7) = f(0.4)だからこれは1:1対応ではない。けれども全射、すなわち
∀y(y∈B ⇒ ∃x(x∈A ∧ g(x)=y))
だから#A≧#B。
No.4
- 回答日時:
具体的な一対一対応として、
f:A→(-1,1)
x が自然数のとき f(x) = x-1,
それ以外のとき f(x) = x.
なんてどお? (ヒルベルトのホテル)
No.3
- 回答日時:
全単射を作るなら「B から A」の方がちょっとだけ考えやすいかもしれない. 一例としてはこんな作り方ができる:
A は B から 1点だけ穴が空いているので, この穴を B のどこかから埋める. もちろんそうすると「別のところ」に穴ができるので, その穴は「また別のところ」から埋める. こうやって「無限の穴埋め」を実行する.
あるいは, なんかの定理で
A から B への単射と B から A への単射の両方が存在するなら A と B の濃度は同じ
ってのもあったはずで, これを使っていいなら簡単.
No.2
- 回答日時:
補足コメントですが、「集合の同値類」との記述ですが同値性は結局濃度で定めていると思いますので不正確です。
端折っているならいいのですが、きちんと記述したつもりなら定義を見直しておいた方が良いと思います。①一般に無限集合それ自身と1点を除いた集合の濃度は等しい(Nからの単射を使えば明らか)です。
よって例えば,{a_n}⊂Aをa_n=1/(n+1)として定め、
f:A→(-1,1)をf(x)=x(x≠1/n),f(1/2)=0,f(a_(n+1))=a_nとするとこれが全単射である事は簡単に確認できると思います。
②ベルンシュタインの定理を知っているなら,A→(-1,1),(-1,1)→Aの単射をそれぞれ構成すると良いです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 宅地建物取引主任者(宅建) 宅建は本当に一冊のテキストと問題集で合格できるのでしょうか? 4 2023/07/15 20:38
- 小学校 食塩水問題です 4 2022/12/09 18:31
- 化学 化学が得意な方に質問です。この問題の正解を教えて欲しいです。 【問題1】Log Kowの記述について 1 2022/09/26 23:44
- 数学 代数学でわからない問題があるので教えてください。 X:濃度nの有限集合 X上の演算を持つ代数系は何個 2 2022/11/13 06:03
- 化学 高一化学の問題です。この問題の、質量パーセント濃度が出せません。モル濃度は自力で解けました!解き方ま 2 2022/11/24 22:31
- その他(学校・勉強) 塾の宿題でわからないため教えて欲しいです。 6 2023/03/08 15:19
- 数学 問題の解説と回答をお願いします !! 2つの集合A={1,2,3,4,6,8,9,10}とB={2, 1 2022/04/27 23:19
- 大学受験 資格試験などの勉強で過去問題集の解説を理解する時、分からない用語を調べてどうするのが良いですか? 問 3 2023/06/18 17:18
- 簿記検定・漢字検定・秘書検定 簿記三級をしてます。テキストはみんなが欲しかった簿記の教科書で勉強してます。 問題集もあったほうがい 3 2022/03/31 12:31
- 化学 化学基礎の問題です。 111の(1)が分からないです。 密度1.18g/cm³から水溶液1Lに塩酸が 1 2022/08/25 20:24
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
Vをn次元実ベクトル空間、ΓをV...
-
「無限の一つ前の数字は何?」...
-
無限に1を引くとどうなりますか?
-
比例、反比例の変域について
-
逆写像の求め方
-
数学において「無限」はどのよ...
-
同値関係の示し方
-
逆三角関数に関する質問を致し...
-
値域 と 定義域 定義域がxの範...
-
アレフゼロの証明について
-
分数関数についての質問です。...
-
逆関数の求められなくて困って...
-
無限から無限を足したり引いた...
-
NとRとℵ1とℵ2の関係
-
自然数の集合と正の有理数の集...
-
交換律と対称律の違い
-
二次関数での定義域と値域の違...
-
無限より大きい何か
-
高2の数学の対数関数です。 真...
-
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報
Aを有限集合とする時、Aの要素の個数をAの濃度といい、#Aで表す
という前提の問題です。
今回のような無限集合の場合は、無限集合Aの同値類を集合Aの濃度といい、#Aと表しています。