微分方程式の問題です。 y"-3y’+2y＝3e^x 何に仮定すればよいのかわかりません。 もしよろ

微分方程式の問題です。
y"-3y’+2y＝3e^x
何に仮定すればよいのかわかりません。
もしよろしければ解答、解説お願いします。

No.4 回答者： とぅとぅ 回答日時： 2021/07/19 16:57

yはxの関数として話を進めます。

余関数はy=αe^x+βe^2x(α、βは任意定数)
特殊解をR(x)とすると、
一般解は、y=αe^x+βe^2x+R(x)の形です。
特殊解の求め方は、R(x)=δx^2e^xと置いて、
R"とR'とRを与えられた微分方程式の左辺に代入して、右辺と係数比較を行い、δの値を求めれば、特殊解が得られます。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/07/19 12:37

「何に仮定すればよい・・・」→日本語になっていません。

また、問題は「y"-3y’+2y＝3e^x」とっても問題になっていません。
想像は可能ですが。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/19 12:35

この式を見て、 y = u e^x と置きたい気持ちになってこない？

代入すると u'' - u' = 3 になるから、
特殊解 u' = -3 (定数関数) がすぐに見つかる。
更に u' = -3 + w と置けば w' - w = 0 となって、これは解けるね。
以上より、 y = { ∫(-3 + A e^x)dx }e^x = -3x e^x + A e^(2x) + B,
A, B は任意定数。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/07/19 11:47

線形なんで、フーリエ変換かラプラス変換を使えば簡単す。

で、元の方程式の解を見つけたら、
　　y"-3y’+2y＝0
の解との線形和にすればOKす。