自然数nに対し n^9-n^3は9で割り切れることを証明せよ

これの回答で、nを3の倍数で割ったときの余りに着目して証明していました。

なぜ、9の倍数の余りではなくていいのでしょうか

全ての自然数が、3の倍数で割ったときのの余りが0,1,2になるからその場合で証明できたら
それは全ての場合で証明できたってことですか？

質問者からの補足コメント

• 僕の質問が悪く、理解力が乏しく申し訳ないですが
  つまりこういう問題を解くときは
  問題文にある～の倍数　の～の余りじゃなくても(今回だと９)
  何かしらの余りに着目して証明できたら、それは全ての整数について証明できたってことになるのですか

    補足日時：2021/07/24 17:15

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/24 17:38

回答ありがとうございます。

このような問題で、余りで分類して全部当てはまれば別に細かく場合分けしなくてもいいということですか？

>>>そのとおり
あくまでも　すべてのしぜんすうnで
n^9-n^3…①　が９の倍数であることが言えないといけないのです
n=1のときも…③

n=2のときも・・・④
n=3のときも…②
n=4の時も・…③
n=5のときも・・・④
n=6のときも・・・②

n=7,n=8,n=9でも　ｎが10以上でも
①=９の倍数でないといけないのです

ｎがいくつであっても①が９の倍数であることを示すのに一番確実なのは
「n=1のとき
n=2のとき・・・というようにすべての自然数nについて
その都度①が９の倍数であることを書いていけばよい」・・・(A)のですが
それでは大変ですし無限にある自然数をすべて書くのは不可能です
そこで、模範解答は３で割り切れるn…②、1余るn…③、2あまるn・・・④に分類しているのです
上に示したように分類③はn=1,4,7,10,13・・・のときを網羅していますよね
ｎが３でわると1余るとき、①=９の倍数であると示せば
それは具体的な自然数nについて　
n=1、n=4,n=7,n=10・・・というように3おきに
①=9の倍数である　とすべて書き出したのと同じことなんです

同様にnが２あまる数であるなら
分類④の　n=2,5,8,・・・のときを網羅しています
ｎが割り切れるなら、分類②　n=3,6,9・・・を網羅です

ゆえに　この３つの分類を統合すればすべての自然数ｎをもうらして
（Ａ）をしたのも同然なのです
つまり、　(A)のようにn=１から順にすべてを書き出さなくても
Ａの要点(すべての自然数nについて①＝９の倍数を示す）は果たされているという事なんです

このＡの目的の要点を果たすためには
nを９で割った時の余りで分類しても良いですが、それだと記述する分量が多くて大変になるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
納得しました

お礼日時：2021/07/24 23:23

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/24 20:43

←補足

全ての整数 n に対して、
n = 3q + r となる整数 q と 0 以上 3 未満の整数 r が存在します。
これが、整数の割り算というものです。
なので、整数 q の値によらず n = 3q + 0, 3q + 1, 3q + 2 について
目的の命題が示せたら、全ての整数 n について検証したことになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/24 23:24

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/07/24 17:24

9の倍数なら必ず3の倍数にはなる。

だけどね、3の倍数は必ずしも9の倍数にはならない。

例えば6。3の倍数だけど9の倍数では無い。

だから、9の倍数を証明するのに、3の倍数である事が言えても証明にはならない。

>>何かしらの余りに着目して証明できたら、それは全ての整数について証明できたってことになるのですか

それはなります。
全ての整数は、任意の整数で割った余りで分類できるから。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/24 23:23

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/24 17:10

n=3k

の時
n^3=27k^3=9(3k^3)=0(mod9)
n^9=(n^3)^3=0(mod9)
だから
n^9-n^3=0(mod9)

n=3k+1
の時
n^3=(3k+1)^3=9(3k^3+3k^2+k)+1=1(mod9)
n^9=(n^3)^3=1(mod9)
n^9-n^3=0(mod9)

n=3k+2
の時
n^3=(3k+2)^3=9(3k^3+6k^2+4k+1)-1=-1(mod9)
n^9=(n^3)^3=(-1)^3=-1(mod9)
n^9-n^3=0(mod9)

∴
n^9-n^3は9で割り切れる

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/24 17:12

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/24 16:51

n^9-n^3＝n^3(n^6-1)…①

だから　nが３の倍数ならn^3部分が9の倍数なんで①は9の倍数と言えますよね
nが3で割って1余る場合や２余る場合も　同様に①が９の倍数であることは
模範解答が示してくれているはずです

で、「nが１、２、３・・・10、・・・100・・・1000・・・」←←←②
のいずれの場合であっても①が9の倍数であると言えていればすべてのケースを網羅できたという事です
②に並んだ数は　3で割り切れる数、３で割ると1余る数
、３で割ると２余るかず　のいずれかに分類されるので
模範解答のように場合分けすればすべての自然数Nについて網羅できているのでOKなのです

９で割るとあまりは・・・　と９つに場合分けしたければそれでやっても良いかもしれませんが、３つの場合分けやった方が遥かに楽ですよね

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
このような問題で、余りで分類して全部当てはまれば別に細かく場合分けしなくてもいいということですか？

お礼日時：2021/07/24 16:56

No.1 回答者： GOchu 回答日時： 2021/07/24 16:40

n^3を9で割った余りは0か1か8、よって3で割った余りは0か1か2となります(自分で計算してみてください)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私の質問の、下3行の考えは間違いと言うことでしょうか

お礼日時：2021/07/24 16:43