以下の条件を満たす100以下の自然数はいくつか 7n+1と8n+4の最大公約数が5になる

この問題はユークリッドの互除法を使うというのは分かるのですが
8n+4=1×(7n+1)+n+3

7n+1=7×(n+3)-20←この部分が分かりません

割る数が７だったら余り-20っておかしくないですか

質問者からの補足コメント

• というか　一次式の割り算について習ってないですけど
  8n+4=1×(7n+1)+n+3じゃない気がします
  商は分数になるのではないですか
  
  お願いします

    補足日時：2021/07/25 15:11

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/25 16:39

ユークリッドの互除法　の要点は

割られる数と　割る数の最大公約数＝割られる数とあまりの最大公約数
ですよね
だから
7n+1と8n+4の最大公約数を考えるならより大きいほうの8n+4を割られる数とみなして互除法で進めていきますよね
その際　基本公式：(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)
を利用しておきますと
8n+4=(7n+1)xQ1+R1です　（ただしQ1は商で、余りの存在する割り算をしているのだから当然ながら商は自然数、R1はあまり）
するとここからQ1の求め方はいくつかありますがやはりてっとりばやいのは筆算です
筆算によらないなら一例として
8n+4は7n+1の何倍か見てあげます
n=1と仮定するなら
8n+4=12
7n+1=8 なんで1.5倍
n=2なら
8n+4=20
7n+1=15 1.5倍より縮小
以下　nが大きくなるにつれて倍率はさらに縮小することに気が付くはずです
ゆえに　7n+1の1倍ちょっとが　8n+4で
7n+1を2倍以上すると　8n+4を超えてしまう！
このことから　拡大率が2倍に満たない2数を
普通に割り算：(8n+4)÷(7n+1) すれば
その商は１であることが分かるはずです
ゆえに　基本公式にQ1=1をあてはめて
8n+4=(7n+1)x１+R1
⇔R1=8n+4-(7n+1)=n+3
このことから模範解答は誤りではありません！！
繰り返しになりますが　余りを出すので商は普通整数です

次にすすむと　冒頭に示した互除法の意味合いから
ただいまの　割る数(7n+1)とあまり(n+3)の最大公約数を扱うことになります
そのため　今度は　7n+1を割られる数とみなして　n+3を割る数とみるのです

再度基本公式に当てはめると
7n+1=(n+3)Q2+R2
やはり　筆算やってもらいたいですが
先ほど同様に考えるか
または単純にnの係数を比較して　Q2はやはり7が妥当です
このとき　あなたは割る数が７だと勘違いしていますがこちらは商であることに留意です！
→7n+1=(n+3)x7+R2
⇔R2=(7n+1)-7(n+3)=-20
割る数はn+3なんで nが17を超えてくればあまり-20もおかしくはないという事です

以下　-20=-1x2x2x5とみれば
互除法により　割る数n+3と　あまり20(-20)の最大公約数と
その一つ前の割られる数：7n+1と割る数：n+3の最大公約数が一致
さらにそのまえでは　この公約数が　8n+4と7n+1の最大公約数にいっちでしたから
結局、n+3と　20(-20)の最大公約数と
8n+4と7n+1の最大公約数にいっち
というのが　互除法の趣旨です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
勘違いしてたのですね

お礼日時：2021/07/26 00:13

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/25 20:46

＞ 7n+1=7×(n+3)-20←この部分が分かりません

＞ 割る数が７だったら余り-20っておかしくないですか

7×(n+3)-20 に余りが -20 という意味を持たせる必要はありません。
余りに拘りたいのなら 7n+1 を 7 で割った余りは 1 ですが、
それに関係なく、7n+1=7×(n+3)-20 という式は成立しています。
それだけの話です。

＞ 商は分数になるのではないですか

割り算には、多項式の割り算と有理式の割り算があって、
そのふたつは同じ「割り算」という言葉で呼ぶけれど、全く別の計算です。
数の計算で言うと、それぞれ整数の割り算と分数の割り算に対応します。
多項式や整数の割り算は余りつき、有理式や分数の割り算は余りなしです。
7 割る 3 の整数での割り算が、商 2 余り 1 であって、商 7/3 ではないように、
8n+4 割る 7n+1 の多項式の割り算は、商 1 余り n+3 であって、
商 (8n+4)/(7n+1) ではありません。「割り算」の種類が違うんです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど！分かりました。

お礼日時：2021/07/26 00:11