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数学I の、三角比の相互関係の問題です。
0≦θ≦180とするとき、tanθ={√3}-2のとき、sinθ cosθ の値を求めよという問題がございまして、
答がsinθ={√6-√2}/4 cosθ=-{√6+√2}/4
と問題集の答えはなっておりますが、
どの公式を使ってどう計算すればこのようになるかがわかりません。
答えを導くための途中式を必ず添えて回答のプロセスを教えてもらえますか。

A 回答 (6件)

tanθ=√3 -2 <0 より、90°<θ<180°



公式 1+tan²θ=1/cos²θ より、
1+(√3 -2)²=1/cos²θ
1+3-4√3 + 4=1/cos²θ
1/cos²θ=8-4√3

cos²θ=1/(8-4√3)
=1/{4(2-√3)}
=(2+√3)/{4(2-√3)(2+√3)}
=(2+√3)/4
=(4+2√3)/8
=(1+√3)²/(2√2)²

90°<θ<180° より、 cosθ<0 なので、
cosθ=-(1+√3)/(2√2)
=-√2(1+√3)/4
=-(√6+√2)/4

公式 sinθ=tanθ・cosθ
=(√3 -2){-(√6+√2)/4}
=-(3√2+√6-2√6-2√2)/4
=(√6-√2)/4
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この回答へのお礼

大変勉強になりました。

お礼日時:2021/08/17 12:19

sinθ/cosθ = (√3) - 2, ←[1]


(sinθ)² + (cosθ)² = 1  ←[2]
を sinθ, cosθ の連立方程式と見て解けばよいです。
0≦θ≦180 より、 sinθ ≧ 0 でもあります。 ←[3]

[1] を sinθ/((√3) - 2) = cosθ と変形して ←[1’]
[2] の cosθ へ代入すると、
1 = (sinθ)² + (cosθ)² = (sinθ)² { 1 + 1/((√3) - 2)² } より、
(sinθ)² = 1/{ 1 + 1/((√3) - 2)² } = (2 - √3)/4.
[3] より、 sinθ = √{ (2 - √3)/4 } = (√6 - √2)/4.

これと [1’] とより、
cosθ = { (√6 - √2)/4 }/((√3) - 2) = (- √6 - √2)/4.
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この回答へのお礼

解答の手順のご教示非常に助かりました。

お礼日時:2021/08/17 12:21

直角三角形を考えて、tan は直角をはさむ辺の長さの比ですから


 tanθ = (√3) - 2 < 0
ということは、90°<θ<180° で
・下の辺の長さを 1 としたとき
・直立する辺の長さが |(√3) - 2| = 2 - √3
ということです。

この直角三角形の斜辺の長さ L は、三平方の定理より
 L = √{1^2 + (2 - √3)^2} = √(1 + 4 - 4√3 + 3)
  = √(8 - 4√3)
  = 2√(2 - √3)

ここで、二重根号を外すために
 √(2 - √3) = √a - √b
とおけば、a>b>0 で、両辺を2乗して
 2 - √3) = a - 2√ab + b
よって
 a + b = 2
 √ab = (√3)/2 → ab = 3/4
a>b>0 であることから
 a = 3/2, b = 1/2

従って、斜辺の長さは
 L = 2[√(3/2) - √(1/2)]
  = √6 - √2

これが分かれば
 sinθ = 直立する辺の長さ/斜辺の長さ
   = (2 - √3)/(√6 - √2)
   = (2 - √3)(√6 + √2)/(6 - 2)  ←分母を有理化
   = (2√6 + 2√2 - √18 - √6)/4
   = (√6 - √2)/4

 cosθ = -下の辺の長さ/斜辺の長さ
   = -1/(√6 - √2)
   = -(√6 + √2)/4  ←分母を有理化
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この回答へのお礼

詳細な途中式大変参考になりました。感謝に尽きません。

お礼日時:2021/08/17 12:19

公式よりも、tanθ<0から、範囲を絞り、sinθ cosの正負を考える


tanθ<0より、π/2<θ<πですので、sinθ>0,cosθ<0
1+tan^2θ=1/cos^2θ
√(4+2√3)=√a+√bとおいて、⇔2重根号の外し方
両辺を2乗してa,bを求め、ここで、cosθ<0より、
cosθ=-(√2a+√2b)/4
sinθ=cosθ*tanθで求める
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この回答へのお礼

助かりました

御教示くださり感謝致します。

お礼日時:2021/08/17 12:17

単純に 直角三角形で 考えたら。


tanθ の値から 底辺が 1 で、高さが √3-2 ですから、
三平方の定理で 斜辺の長さが分かりますね。
(二重根号の 処理が必要になる筈ですが。)
後は sin と cos の値の 分母の有理化だけだと思いますよ。

以上 考え方のみ。計算は ご自分で どうぞ。
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この回答へのお礼

勉強になりました。感謝します。

お礼日時:2021/08/17 12:16

0≦θ≦180°


tanθ=-2+√3
sinθ/cosθ=-2+√3 …(1)
(sinθ/cosθ)^2=(-2+√3)^2=7-4√3
(sinθ/cosθ)^2=7-4√3
1+(sinθ/cosθ)^2=8-4√3
1/(cosθ)^2=8-4√3
(cosθ)^2=1/(8-4√3)
(cosθ)^2=(2+√3)/4
1-(sinθ)^2=(2+√3)/4
1-(2+√3)/4=(sinθ)^2
(sinθ)^2=1-(2+√3)/4
(sinθ)^2=(2-√3)/4
(sinθ)^2=(4-2√3)/8
(sinθ)^2={(√3)-1}^2/8
(sinθ)^2=2{(√3)-1}^2/16
(sinθ)^2={(√6-√2)/4}^2
↓0≦θ≦180°,sinθ≧0だから

sinθ=(√6-√2)/4

↓これを(1)に代入すると
(√6-√2)/4/cosθ=-2+√3
(√6-√2)/{4(-2+√3)}=cosθ

cosθ=(√6-√2)/{4(-2+√3)}
cosθ=(√2-√6)(2+√3)/4

cosθ=-(√6+√2)/4
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この回答へのお礼

助かりました

非常に詳しい途中式感謝致します。

お礼日時:2021/08/17 12:15

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