ノルムの定義について

数学初心者です。添付の画像のノルムの定義の解釈について質問させてください。
最初の数式は我々が一般に使うベクトルの大きさの定義だと思います。L2ノルムというのでしょうか。
問題は2番目の数式による定義です。右辺はv(x)の大きさの最大値を表していると思いますが、左辺は何を意味していますか？
領域Ω上で有界な関数にベクトルv(x)を与えたときの大きさ？という意味で、それを右辺と定義する、という意味でしょうか？
どなたか分かる方、教えてください。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます。
  お手数ですが、私の理解が正しいかどうか確認させてください。
  画像の下の式は、Ω上でのv(x)のL2ノルムの最大値をv(x)のL∞ノルムと定義する、ということでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/08/21 15:25

No.2 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2021/08/21 19:59

> 画像の下の式は、Ω上でのv(x)のL2ノルムの最大値をv(x)のL∞ノルムと定義する、ということでしょうか？

正確には最大値ではなく上限値ですね。Ωがコンパクト集合でない場合には最大値は必ずしも存在しませんが、上限値は関数が有界なら必ず存在しますので。
あとL∞ノルムは正確には『関数としてのv(x)』の大きさを示すノルムです。v(x)と書くと関数か関数の値か区別が付かないので数学では単に v と書くことも多いです。(画像の式の中ではv(・)と書かれている)

この回答へのお礼

納得しました！ありがとうございました！

お礼日時：2021/08/21 22:14

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2021/08/20 07:47

まず、図にある上下2つの式のうち上の式はあるx∈Ωにおけるv(x)というベクトルの大きさを定義するものです。

これはL2ノルムといっても間違いではないでしょう。
下の式は、Ω上で定義されたベクトル値関数v:Ω→R^mの大きさをvのx∈Ωにおける値v(x)の大きさの上限として定義するものです。ここでのxはΩ内の一点ではなくΩ内のすべての点を取ります。
関数vがΩで有界ならこの式は有限の値を与えます。有界でない関数はL^∞(Ω)に含まれません。
なので上の式は関数としては R^m → R ですが、下の式は (Ω→R^m) → R となります。